Influence des corr´elations sur la distribution des valeurs singuli`eres

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II.4 R´egime de diffusion multiple

II.4.4 Influence des corr´elations sur la distribution des valeurs singuli`eres

Comme on l’a mis en ´evidence au§II.4.2, les corr´elations qui peuvent exister entre voies voi-sines (Fig.II.5) ont une influence importante sur la distribution des valeurs singuli`eres (Fig.II.4).

Nous allons donc examiner maintenant les origines et cons´equences de ces corr´elations. Nous allons montrer que le spectre des valeurs singuli`eres peut ´egalement ˆetre pr´edit dans ce cas, en

nous fondant sur les travaux th´eoriques de Sengupta et Mitra [80]. Les r´esultats exp´erimentaux sont compar´es aux pr´edictions th´eoriques ainsi qu’aux r´esultats d’une simulation num´erique.

Enfin, l’effet de la sym´etrie de ˜K est ´egalement abord´e. Elle constitue un autre ´ecart par rap-port `a l’hypoth`ese d’ind´ependance des coefficients de la matrice. Son effet sur la distribution des valeurs singuli`eres sera estim´e num´eriquement. On montrera ´egalement qu’il d´ecroˆıt avec la dimension N de la matriceK.

Origine des corr´elations entre voies voisines

Comme on peut le voir sur la figure II.5, la matrice K(T, f˜ ) pr´esente des corr´elations importantes entre voies adjacentes. Deux ph´enom`enes sont `a l’origine de ces corr´elations.

Premi`erement, il existe un couplage m´ecanique partiel entre capteurs voisins. Deuxi`emement, l’onde enregistr´ee par le r´eseau provient de la radiation d’une source incoh´erente de largeur W (le halo diffusif dans le milieu diffusant) observ´ee `a une distancea. Le th´eor`eme de Van Cittert-Zernike [21, 49, 50] indique que la longueur de coh´erence typique de l’onde ´evolue en λa/W (autrement dit, l’onde provenant d’une source incoh´erente de taille W finie voit sa longueur de coh´erence augmenter au cours de sa propagation). Ces deux effets induisent une corr´elation courte port´ee des signaux mesur´es par le r´eseau. Dans notre configuration exp´erimentale, ces corr´elations r´esiduelles semblent ˆetre limit´ees aux voies voisines aussi bien `a l’´emission qu’`a la r´eception, comme en t´emoigne la figure II.5.

Pr´ediction th´eorique du spectre singulier en pr´esence de corr´elations

Sengupta et Mitra [80] ont ´etudi´e th´eoriquement l’influence des corr´elations sur la distribu-tion des valeurs singuli`eres dans le cas de matrices al´eatoires de grande dimension. Leur mod`ele suppose que D

ij

E

= 0. Il suppose ´egalement que la corr´elation entre deux coefficients ˜kil et

jm s’´ecrit : D

˜kil˜kjmE

=N1cijdlm (II.10)

o`u le symbole < . > repr´esente une moyenne d’ensemble. C et D sont des matrices de taille N × N. Nous les appellerons par la suite matrices de corr´elation. En partant de l’´equation II.10, Sengupta et Mitra pr´edisent la distribution des valeurs singuli`eres en s’appuyant sur une technique diagrammatique et la m´ethode du point-selle (ou point-col). Seule la connaissance des valeurs propres de CetD est n´ecessaire `a l’obtention de la distribution des valeurs singuli`eres.

Appliquons maintenant l’approche de Sengupta et Mitra `a notre configuration exp´eri-mentale. Ici, les coefficients cij et dij sont ´egaux du fait de la r´eciprocit´e spatiale : C ≡ D.

On peut estimer cij par le coefficient de corr´elation Γij (Eq.II.4) : ˆ

cij = Γij (II.11)

Les coefficients ˆcij forment une matriceCˆ qui constitue un estimateur de la matrice de corr´elation C.Cˆ est une matrice de Toeplitz : ses coefficients ne d´ependent que dei−j. L’application du mod`ele de Sengupta et Mitra `a notre configuration exp´erimentale repose sur deux hypoth`eses :

– La corr´elation entre deux signaux re¸cus (´emis) par le mˆeme ´el´ementl et ´emis (re¸cus) par deux ´el´ements i et j ne d´epend pas de l’´el´ement l mais seulement de la distance |i−j|. – La corr´elation entre deux signaux ´emis et re¸cus par deux paires d’´el´ements (i, l) et (j, m)

est donn´ee par le produit des corr´elations `a l’´emission (Γij) et `a la r´eception (Γlm).

La premi`ere hypoth`ese requiert que le milieu soit statistiquement invariant par translation. La seconde est v´erifi´ee dans notre cas.

Une fois le coefficient de corr´elation Γij mesur´e exp´erimentalement (voir Fig.II.5), la ma-trice de corr´elation C est estim´ee par Cˆ (Eq.II.11). Les valeurs propres de Cˆ sont calcul´ees num´eriquement et incorpor´ees dans le mod`ele de Sengupta et Mitra afin d’obtenir une estima-tion de la distribuestima-tion des valeurs singuli`eres pourK.˜

Comparaison entre les spectres singuliers num´eriques, th´eoriques et exp´erimentaux

Fig.II.10: Distributions des valeurs singuli`eres th´eorique [80], num´erique et exp´erimentale dans le cas de la matrice K˜ corr´el´ee

Sur la figure II.10, le r´esultat th´eorique obtenu par la m´ethode de Sengupta et Mitra est compar´e `a la distribution exp´erimentale des valeurs singuli`eres, mais ´egalement au r´esultat d’une simulation num´erique. Celle-ci consiste `a g´en´erer num´eriquement une matricePdont les

´el´ements sont des variables al´eatoires complexes `a sym´etrie circulaire et `a moyenne nulle. A partir de cette matrice al´eatoire, une matrice Q al´eatoire corr´el´ee est construite ainsi :

Q =Cˆ12P ˆC12 (II.12)

On peut montrer que la matrice Q pr´esente alors les mˆemes corr´elations `a l’´emission et `a la r´eception que la matriceKmesur´ee exp´erimentalement. Un histogramme des valeurs singuli`eres est obtenu en r´ealisant la SVD de Q, en renormalisant ses valeurs singuli`eres selon Eq.II.2 et en moyennant le r´esultat sur 2000 r´ealisations. L’accord entre les distributions th´eorique et num´erique est parfait, ce qui illustre la validit´e de la technique propos´ee par Segupta et Mitra

[80]. La prise en compte des corr´elations am´eliore significativement l’accord entre th´eorie et exp´erience. Un r´esultat particuli`erement int´eressant apport´e par la th´eorie est que la distribu-tion des valeurs singuli`eres est toujours `a support born´e, mˆeme en pr´esence de corr´eladistribu-tions. Par cons´equent, la mod´elisation th´eorique des corr´elations permet d’´etablir une valeur maximale λ˜max (iciλmax ≃2.5) qui ne serait jamais d´epass´ee par la premi`ere valeur singuli`ere ˜λ1. Notons toutefois qu’il subsiste toujours aux bornes du support une petite diff´erence r´esiduelle entre les r´esultats exp´erimentaux et th´eoriques (Fig.II.6).

Effet de la sym´etrie de K

A cause de la r´eciprocit´e spatiale, la matrice K est sym´etrique. Cette propri´et´e conduit de nouveau `a une d´eviation par rapport `a l’hypoth`ese d’ind´ependance des coefficients qui est g´en´eralement faite dans le cadre de la RMT. Nous consid´erons ici le cas de la matrice tronqu´ee K˜t. Cela permet d’´etudier l’effet de la sym´etrie ind´ependamment des corr´elations entre voies voisines trait´ees ci-dessus. Une simulation num´erique est r´ealis´ee. Elle consiste `a g´en´erer une matrice sym´etrique P de dimension N2 × N2 dont les ´el´ements sont des variables al´eatoires complexes gaussiennes `a sym´etrie circulaire et de moyenne nulle. Un histogramme des valeurs singuli`eres est obtenu en r´ealisant la SVD deQ, en renormalisant ses valeurs singuli`eres (Eq.II.2) et en moyennant le r´esultat sur 2000 r´ealisations. La distribution des valeurs singuli`eres obtenue num´eriquement ne suit pas exactement la loi du quart de cercle (voir Fig.II.11).

Fig.II.11: Distribution des valeurs singuli`eres obtenue num´eriquement dans le cas d’une matrice al´eatoire sym´etrique compar´ee `a la loi du quart de cercle (Eq.II.4)

Plus pr´ecis´ement, l’´ecart apparaˆıt principalement aux limites du support th´eorique de ρ(λ), c’est-`a-dire au voisinage de λ = 0 et λ = 2. La raison de cet ´ecart est d´etaill´ee en Annexe II.A.3. La sym´etrie de K implique en effet des corr´elations r´esiduelles entre les ´el´ements dia-gonaux de la matrice d’autocorr´elation KK, corr´elations qui n’existent pas quand la matrice al´eatoire n’est pas sym´etrique. Ces corr´elation r´esiduelles sont de l’ordre de N1. Dans notre

configuration exp´erimentale (N/2 = 32), elle sont assez faibles mais suffisantes pour induire une l´eg`ere d´eviation par rapport `a la loi du quart de cercle, notamment au voisinage deλ= 0.

II.4.5 Conclusion

En l’absence de corr´elations spatiales entre les coefficientskij, la distribution exp´erimentale des valeurs singuli`eres est proche de la loi du quart de cercle. N´eanmoins, des d´eviations par rapport aux hypoth`eses classiques faites dans le cadre de la RMT ont ´et´e mises en ´evidence. Tout d’abord, les ´el´ements deK ne sont pas identiquement distribu´es. Cela est dˆu `a une r´epartition inhomog`ene de l’intensit´e moyenne r´etrodiffus´ee. Cette inhomog´en´eit´e provient du ph´enom`ene de r´etrodiffusion coh´erente ainsi que de la d´ecroissance du halo diffusif avec la distance s´eparant la source et le r´ecepteur. Ces effets peuvent ˆetre compens´es artificiellement et nous avons montr´e qu’ils ne pouvaient pas expliquer, dans notre configuration exp´erimentale, la l´eg`ere d´eviation par rapport `a la loi du quart de cercle observ´ee exp´erimentalement. Un autre ´ecart par rapport aux hypoth`eses g´en´erales de la RMT a ´et´e mis en ´evidence num´eriquement : la sym´etrie de la matrice K induit des corr´elations r´esiduelles entre les coefficients kij. Elle explique en grande partie la d´ecroissance de la densit´e de probabilit´e des valeurs singuli`eres observ´ee autour de λ = 0. En revanche, ces diff´erents effets ne peuvent pas expliquer compl`etement la l´eg`ere d´eviation du spectre singulier exp´erimental par rapport `a la loi du quart de cercle autour de λ= 2.

En pr´esence de corr´elations entre les coefficients de la matriceK, nous sommes capables de pr´edire une nouvelle loi th´eorique pour la distribution des valeurs singuli`eres, grˆace au mod`ele propos´e par Sengupta et Mitra [80]. En conclusion, en r´egime de diffusion multiple, la matrice de r´eponseK˜ renormalis´ee tombe dans le cadre g´en´eral de la RMT et une pr´ediction th´eorique de la distribution de ses valeurs singuli`eres peut ˆetre r´ealis´ee. Comme nous allons le voir au

§II.5, ce n’est plus vrai lorsque la diffusion simple pr´edomine.

Des hypoth`eses peuvent ˆetre avanc´ees pour expliquer la diff´erence r´esiduelle que nous avons observ´ee entre exp´erience et th´eorie. Cela peut provenir d’effets interf´erentiels, comme la diffu-sion r´ecurrente [8, 86]. Un cheminr´ecurrent est un chemin de diffusion multiple pour lequel le premier et le dernier diffuseur rencontr´es sont identiques. Ces chemins pr´esentent le mˆeme com-portement statistique que les signaux simplement diffus´es (i.e coh´erence d´eterministe le long des antidiagonales), mais leur contribution par rapport aux autres chemins de diffusion multiple est n´egligeable [8]. Par contre, du fait de l’ouverture finie de la barrette, la cellule de r´esolution de taille WRN pλa dans le milieu al´eatoire n’est pas infiniment petite : deux ondes issues de deux diffuseurs situ´es dans la mˆeme cellule de r´esolution apparaissent fortement corr´el´ees au niveau du r´eseau. Ainsi les chemins dont les premier et dernier ´ev`enements de diffusion ont lieu dans la mˆeme cellule de r´esolution vont ´egalement donner lieu `a une corr´elation longue port´ee le long des antidiagonales de la matrice K. On peut qualifier ces chemins de pseudo-r´ecurrents. Leur contribution est loin d’ˆetre n´egligeable aux temps courts. Ils conduiraient donc

`a un spectre singulier diff´erent des pr´edictions th´eoriques : la distribution des valeurs singuli`eres est interm´ediaire entre celle obtenue en r´egime de diffusion simple et la loi du quart de cercle.

L’autre hypoth`ese est l’existence de points ou chemins brillants : pour une r´ealisation donn´ee du d´esordre, des r´egions peuvent ˆetre fortement concentr´ees en diffuseurs. Cela conduit `a des zones o`u l’´energie accumul´ee est tr`es importante du fait d’une r´esonance collective des diffu-seurs. Ce ph´enom`ene expliquerait pourquoi la premi`ere valeur singuli`ere peut d´epasser la valeur limite th´eoriqueλmax = 2 mˆeme aux temps longs. Quelques ´etudes th´eoriques [87, 88] existent sur la statistique des points brillants dans les figures de speckle ; elles pourraient fournir `a l’ave-nir une base th´eorique pour l’´etude de ces ph´enom`enes. Dans tous les cas, le d´esaccord entre th´eorie et exp´erience est minime et d´elicat `a quantifier avec pr´ecision. Il est donc difficile `a ce stade d’aller au-del`a de sp´eculations pour expliquer l’origine du tr`es l´eger ´ecart entre le spectre singulier exp´erimental et les pr´edictions de la RMT.

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