2.2. Hystérésis des propriétés d’écoulement
2.2.2. Hystérésis de la pression capillaire
2.2.2.1. Influence de la mouillabilité sur les pressions capillaires
Plusieurs auteurs (Richardson et al., 1955; Luffel et al., 1960; Ruhl et al., 1963) ont étudié les effets de la mouillabilité sur les pressions capillaires en effectuant des mesures sur des carottes préservées (avec mouillabilité du réservoir inchangée) et sur des carottes où la mouillabilité a été ramenée à une mouillabilité franche à l’eau. Des différences remarquables sont observées.
La pression capillaire dépend de la mouillabilité, de la structure des pores et de l’historique de saturation (Anderson, 1987).
Killins (1953) obtient expérimentalement des courbes de pression capillaire sur des milieux poreux de mouillabilité franche d’une part à l’huile (grès de Berea traités avec du Drifilm et grès de Tensleep) présentés Figure 32 et d’autre part une mouillabilité franche à l’eau (grès de Berea et Venango) présentés Figure 31.
Chapitre 2 : Hystérésis et Influence de la mouillabilité sur les écoulements en milieu poreux
56 Figure 31: Mesures expérimentales de pression capillaire sur un grès de Berea (à gauche)
et Venango (à droite) dans des conditions de mouillabilité à l'eau (Anderson, 1987).
Figure 32: Mesures expérimentales de pression capillaire sur des grès mouillables à l'huile (Berea à gauche et Tensleep à droite) (Anderson, 1987)
Plusieurs observations en résultent. Les milieux de mouillabilités franches à l’eau (Figure 31) montrent une imbibition spontanée (Pc(Swi) à Pc = 0) conséquente (beaucoup plus
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57 peut aussi remarquer que l’imbibition forcée du grès de Berea (Figure 31) présente une courbure qui tend à diminuer l’aire sous la courbe de pression capillaire en imbibition forcée (Pc < 0) par rapport à l’aire sous la courbe de pression capillaire au drainage.
Morrow (1970) a établi un lien direct entre l’aire sous la courbe de pression capillaire et le travail requis par un fluide pour en déplacer un autre. Dans le cas des milieux mouillables à l’eau (Figure 31), le drainage forcé requiert un travail plus important (fluide non mouillant déplaçant le fluide mouillant) que l’imbibition forcée de l’eau où, pratiquement aucune énergie supplémentaire n’est nécessaire pour déplacer l’huile comme l’attestent les aires sous les courbes de pression capillaire en déplacements forcés. Cette observation est aussi faite pour les milieux mouillables à l’huile (Figure 32).
Morrow et Mungan (1971) ont pu expérimentalement mesurer les pressions capillaires à différents angles de contact par des procédés chimiques d’altération de mouillabilité sur des carottes en polytetrafluoro-ethylène (Teflon: choisis car étant chimiquement inerte et de mouillabilité constante). Les angles de contact sont établis par des procédés chimiques. Les auteurs observent que les pressions capillaires ne sont sensibles à la mouillabilité qu’à partir de certains angles de contact (environ 50° pour le drainage et 22° pour l’imbibition).
De nombreux résultats expérimentaux montrent que la mouillabilité influencerait en partie l’évolution des pressions capillaires, mais pratiquement aucune relation de pression capillaire en fonction de la saturation n’intègre la mouillabilité. Les modèles d’hystérésis les plus connus de la littérature sont très souvent soit limités aux hypothèses de mouillabilité constante ou soit nécessitent de nombreux paramètres difficilement accessibles.
2.2.2.2. Modèles d’hystérésis de pression capillaire
De multiples modèles de la littérature concernant les pressions capillaires ne sont que de simples constructions purement mathématiques. Nous n’énoncerons que deux modèles hystérétiques des plus connus. Ce sont ceux de Killough (1976) et de Skjaeveland et al., 1999.
2.2.2.2.1. Modèle Hystérétique de Pc de Killough (1976)
Ce modèle permet de générer les courbes de drainage et d’imbibition intermédiaires à partir de données expérimentales correspondant aux courbes enveloppes de drainage et d’imbibition (c’est-à-dire drainage primaire (ou secondaire) et imbibition primaire). Il est illustré Figure 33.
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58 Figure 33: Illustration des "scanning curves" et des courbes extrêmes pour le modèle de
pression capillaire de Killough (1976)
La pression capillaire pour une saturation Sw d’une « scanning curve » qui débute à une
saturation SwHyst sur la courbe de drainage est donnée par (drainage imbibition) :
(82)
Où F est une constante définie par :
(83)
Où : est la saturation maximale de l’eau (1-SNr), et ϵ est un paramètre qui dépend de la
courbure des courbes enveloppes de pression capillaire. Les exposants « dr » et « imb » désignent respectivement le processus de drainage et d’imbibition.
Dans le sens contraire (imbibition drainage), on a :
(84)
Où F est une constante définie par :
(85)
Ces courbes ne sont que de simples interpolations entre les deux courbes extrêmes qui permettent de générer les courbes intermédiaires de pression capillaire (« scanning
Chapitre 2 : Hystérésis et Influence de la mouillabilité sur les écoulements en milieu poreux
59 curves »). Ces dernières gardent la même courbure que les courbes maîtresses, ce qui n’est pas forcément le cas en zone de transition, où la mouillabilité évolue avec la hauteur.
2.2.2.2.2. Modèle hystérétique de Pc de Skjaeveland et al., 1999
Skjaeveland et al.(1999) ont construit un modèle dans lequel est intégré la notion de variation de mouillabilité. L’idée est de supposer que pour une certaine mouillabilité, on effectue une pondération entre la pression capillaire en mouillabilité franche à l’eau et la pression capillaire en mouillabilité franche à l’huile. Les équations de bases sont celles de Brooks & Corey (équation 24 énoncée dans le chapitre 1 section 1.3.3.1.)
Le modèle s’écrit :
(86)
(87)
Où
sont les paramètres déterminés expérimentalement et qui permettent de générer ensuite les courbes intermédiaires de pression capillaire.
Les Si* (i = o, w) représentent les saturations effectives. Ce modèle implique qu’à chaque
saturation initiale de départ de la « scanning curve », la mouillabilité ait été altérée. La détermination des paramètres de ce modèle nécessite de nombreuses courbes expérimentales relevant d’expériences qui ne sont pas toujours accessibles à l’échelle du laboratoire. Des hypothèses sont très souvent établies pour pallier au manque de données expérimentales.