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La Formule Rationnelle et ses dérivés

Dans le document PETITS THE8E (Page 45-52)

GENERALITES SUR LA NATURE ET L'UTILISATION DES MODELES DE RUISSELLEMENT EN MILIEU URBAIN

2.2 NATURE ET EVOLUTION DES MODELES DE RUISSELLEMENT URBAIN APPUQUES DANS LES PAYS INDUSTRIALISES

2.2.1 La Formule Rationnelle et ses dérivés

2.2 NATURE ET EVOLUTION DES MODELES DE RUISSELLEMENT

La formule initiale s'appuie sur les hypothèses suivantes :

le volume ruisselé est proportionnel àla pluie brute, et ce coefficient de proportionnalité C, appelé coefficient de ruissellement,estconstant pour l'ensemble des averses,

il existe un "temps de concentration", caractéristique invariante du bassin, correspondant àla durée nécessaire pour qu'une goutte d'eau tombée au point le plus éloigné hydrauliquement de l'exutoire rejoigne ce dernier,

pour une averse d'intensité constante i,ledébit maximum ne sera observéàl'exutoire quesila durée de l'averse est supérieure au "temps de concentration" du bassin. Après cette durée, toute la surface du bassin participe au ruissellement, et le débit atteint son palier maximum (figure 2-2), égal au produit .de l'intensité de lapluie nette par la superficie du bassin.

Dans ces conditions, le débit de pointe Op s'écrit:

Op= C .LA

où C représente le coefficient de ruissellement, en rapport, i l'intensité constante de la pluie, en mis, A la superficie du bassin en m2,et Op le débit de pointe de crue en m3/s.

2) Les hypothèses de validité de cette formule étaient très limitatives, et ont donné lieu à de nombreuses modifications ou interprétations, survenant dans la première moitié du 20ème siècle. Nous en décrivons les principales dans ce qui suit:

une averse présente rarement une intensité constante.Si on admet que le coefficient de ruissellement C est constant, le débit maximum provoqué par une averse d'intensité variable sera égal à celui que provoquerait une averse d'intensité constante et égale à imax(tc), maximum del'intensité moyenne de l'averse sur une durée égale au temps de concentration du bassin (figure 2-3). La formule s'écrit alors:

Op = C . imax(tc) . A

toujours dans l'hypothèse où le coefficient de ruissellement C n'est pas une variable aléatoire,la formule rationnelle se prête à une interprétation statistique simple, qui revient à considérer que l'intensité moyenne maximale sur le temps de concentration du bassin et le débit qui en résulte ont même fréquence d'apparition. La formule s'écrit dans ce cas :

Op(T) = C. imax(T,tc) . A

où T représente la période de retour de l'événement.

Première partie 46 OIapitre 2

Fig. 2 - 2 : Application de la formule rationnelle pour une pluie d'intensité

constante

...

le

.

ib (I)

Q(t} Qmax

=

C.i.A

....

le

Fig. 2 -

3 :

Application de la formule rationnelle pour une pluie d'intensité

variable

-

te

Qmax " C. Imax (lel.A

Q('')A.

"'7

C'est sous cette forme statistique adaptée aux besoins de dimensionnement des ouvrages, calculé en fonction de risques de défaillance, que sont représentés le plus souvent les modèles dérivés de la formule rationnelle.

D'autres améliorations de laformule rationnelle ont porté sur :

l'abattementdes précipitations : à lamesure ponctuelle de la pluie est substituée une valeur moyenne étendue au bassin,

l'amortissementdelacruepareffetdestockIlgetemporairedansleréseau :une partie du volume ruisselé est mobilisée pour le remplissage du réseau et ne doit pas être pris en compte pour calculer le débit de pointe de crue,

la variation dutempsdeconcentration en fonction dudébitdepointe :le temps de parcours de l'écoulement sur le plus long chemin hydraulique est fixe pour une crue donnée, mais peut varier d'une crueà l'autre.

La formule rationnelle a ainsi évoluée vers l'expression:

Op(T) = k . C . imax(T,f(tc» . A .Q

dans laquelle k

«

1) traduit l'effet d'écrêtement du réseau, Q

«

1) l'abattement des précipitations, f la fonction de variation du temps de concentration.

Il est intéressant de citerà ce titre les travaux de Caquot (M.R.U., 1949), aboutissant à la formule qui porte son nom, utilisée principalement en France métropolitaine et en Afrique francophone:

l'abattement spatial des précipitations est traduit par un facteur A-l,

l'effet d'écrêtement du réseau par un facteur

1/ (IJ + cS),

le temps de concentration du bassin est déterminé par l'expression:

avec tc temps de concentration du bassin en minutes, E allongement du bassin, rapport du plus long chemin hydrauliqueà la racine carrée de la superficie du bassin, #.&(E),C,d,f coefficients numériques d'ajustement,1pente moyenne du bassin le long du parcours de l'eau en m/m, A en hectares et Op en I/s.

Première partie 48 Chapitre 2

Par ailleurs, d'autres travaux réalisés sur la pluviométrie ont conduit à formuler l'intensité moyenne des précipitations en fonction de leur durée et de leur période de retour (courbes intensités-durées-fréquences).

Les principales formules ont été proposées par :

Montana

Talbot

imax(t,T)

=

a(T) .

fb(T)

imax(t,T)

=

a(T)/(t+b(T»

avec imax en mm/mil, t en mil, et a(T) et b(T) coefficients d'ajustement.

Caquot, puis Koch (1954) et Desbordes (1974) s'en sont inspirés pour aboutir à la formule générale suivante:

avec:

a(T).Jl(E).b(T)

k=

u

= 1-b(T).f

v=

b(T).c

w=

b(T).d + l-e

Laformule comprend donc 9 paramètres d'ajustement:

a(T) et b(T) sont des paramètres statistiques régionaux se rapportant à la pluviométrie,

Jl,c,d,f concernent le temps de concentration du bassin,

~et 6 traduisent l'effet de stockage du réseau,

f caractérise l'abattement de lapluie.

Les valeurs initialement proposées par Caquot étaient:

Jl(2)

=

0,93 c = -0,363 d =0,366 f = -0.2

Première partie

~ = 0,85

6

= 1

f = 0,178

49 Chapitre 2

Lacirculaire ministérielle C.G. 1333 (M.R.U.,1949) proposeainsi deux versions de laformule de Caquot, pour des bassins d'allongement moyen (E=2) :

l'une dite formule de Caquot pour Paris, établie à partir des travaux de Grisollet sur les averses de la région parisienne:

Qp(lO ans) = 1340. tl,30 . C1,17 . AO,75

où 1 représente la pente du bassin, en m/m, C le coefficient de ruissellement du bassin, en rapport, Alasuperficie du bassin, en ha et Qp(lO ans) le débit de pointe décennal, en l/s.

l'autre dire formule de Caquot pour Montpellier, établie à partir des résultats obtenus par Godard sur la pluie à Montpellier:

Qp(10 ans) = 580 . tl,16 . C1,09 . A0,82

avec les mêmes symboles et unités.

Pour déterminer le débit de pointe de crue sur ces bassins, il suffit alors d'appliquer l'une de ces formules, après avoir précisé la superficie, la pente et le coefficient de ruissellement du bassin. Ce dernier, leplus délicat à déterminer, est assimilé à la proportion de surfaces imperméabilisées sur le bassin, dite coefficient d'imperméabilisation.

3) Avec le temps, d'autres développements de la formule rationnelle ont vu le jour. Contrairement à la tendance précédente, ces développements ont davantage porté sur le réajustement des paramètres intervenant dans les formules que sur l'introduction de nouveaux concepts.

Ces réajustements ont été réalisés à partir de mesures du ruissellement sur bassins expérimentaux (Normand, 1971). Desbordes (1974) constate que les paramètres proposés par Caquot conduisent dans l'ensemble à sous-estimer les débits de pointe de aue, et il propose les nouvelles valeurs suivantes:

Première partie

J.L(2) = 0,65

fJ

+

6

= 1,10

E = 0,05

c

=

-0,41

50

d

=

0,507 f = -0,287

O1apitre 2

Par ailleurs, sur la base d'études plus détaillée de la pluviométrie, le territoire métropolitain a été découpé en 3 régions homogènes, pour chacune desquelles la formule générale de Caquot a été adaptée. Une nouvelle circulaire ministérielle (M.I.,1977), publiée en remplacement de la circulaire ministérielle n° C.G.

1333 du 22 février 1949, proposeà partir de l'ensemble de ces travaux les formules suivantes:

· pour la zone I, limitée au sud par une ligne joignant approximativement La Rochelle à Besançon:

Qp(10 ans) = 1430 . .a,29 . Cl,20.A O,78

· pourlazoneII,contenant le Sud-Ouest, le Massif Central et les Hautes Alpes:

Qp(lO ans) = 1601 . .a,27 . Cl,19. A0,80

· pour la zone III, limitée au nord par une ligne passant par Carcassonne, Mende et Gap:

Qp(lO ans) = 1296 . .a,21 . Cl,14. A0,83

A côté de ces réajustements, des recherches ont également été développées pour fixer les limites d'application delaformule de Caquot et de ses adaptations :

• l'approximation du coefficient de ruissellement du bassin par un coefficient constant n'est justifiée que dans lamesure où les surfaces imperméables exercent un rôle prépondérant. Un coefficient d'imperméabilisation minimum de 0,20 a donc été proposé pour satisfaire à cette approximation;

• l'application de la formule de Caquot suppose que les caractéristiques du bassin sont homogènes, notamment en ce qui concerne la pente et l'occupation des sols. En cas de groupement de sous-bassins de caractéristiques hétérogènes, il est possible d'évaluer des

"paramètres équivalents" sur l'ensemble du bassin, d'après les recommandations de Desbordes et Raous (1975) ;

• des limites de superficies et de pentes ont également étéfixéescomme suit:

A~200ha 0,002~1

s

0,05 mfm

En dehors de ces limites, les vérifications expérimentales montrent l'inadéquation de l'ajustement numérique proposé pour le modèle de Caquot, pour des raisons liées au non respect de la supériorité de la durée de l'averse par rapport au temps de concentration du

Première partie 51 Cbapitre 2

bassin, à l'hétérogénéité des caractéristiques de pentes et d'occupation des sols, à la dynamique du transfert de l'eau sur des bassins plats ou très pentus.

4) Conclusions

Les modèles rationnels présentent le grand avantage d'être très simples d'exploitation, et de s'appuyer sur une information fournie concernant les entrées pluviométriques du modèle.

Cela étant dit, ilscomportent également l'inconvénient de ne reconstituer qu'un aspect des écoulements constitués par le débit de pointe de crue. Si cet aspect s'avère suffisant pour dimensionner un aménagement à l'aval d'une superficie restreinte, il ne permet pas d'étudier le fonctionnement général de réseaux d'assainissement, dans lesquels la propagation des écoulements nécessite une connaissance précise de la dynamique de la crue et de son hydrogramme complet.

Pour faire face précisément à des situations de plus en plus complexes en matière de réseaux, les chercheurs se sont alors penchés sur cet aspect de la reconstitution de l'hydrogramme complet de la crue. Les travaux développés dans ce domaine ont pu connaître leur essor grâce aux développements de l'informatique.

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