Analisando os significados da Combinatória presentes na coleção, a Tabela 6 nos mostra que todos os tipos de problemas são encontrados, contudo com ênfase nos produtos cartesianos. Poucas são as atividades que exploram o arranjo, a permutação e a combinação.
Tabela 6. Quantidade de problemas por significados em cada ano escolar/livro na coleção 2AI
Ciclo Ano
escolar/livro
Quantidade de problemas combinatórios por significado
Produto Cartesiano
Arranjo Combinação Permutação Alfabetização matemática 1º ano 1 0 0 0 2º ano 8 0 1 1 3º ano 6 1 2 0 Matemática 4º ano 6 2 0 2 5º ano 7 0 0 1 Total 29 3 3 4
Ao tratar diretamente sobre os problemas combinatórios, de modo geral, a coleção relaciona apenas a um tipo de problema, como também evidenciado na coleção 1AI. O trabalho quase que exclusivo com produto cartesiano é também identificado em estudos de sondagem nos quais os alunos têm mais facilidade em resolver tais situações. Contudo, ao se depararem com outros significados combinatórios, apresentam muita dificuldade em resolvê-los. Vergnaud (1986) aponta que a construção do conceito se dá a partir da compreensão dos significados que o mesmo envolve, ou seja, com a variedade de situações referentes ao conceito (tipos de problemas) e com a Combinatória não é diferente.
Esta ênfase no produto cartesiano dificulta ainda a percepção das propriedades invariantes que distinguem os problemas combinatórios e é preciso que os alunos as percebam desde cedo para que nos próximos ciclos desenvolvam melhor situações mais complexas, como as condicionais, que envolvem outros invariantes, conforme encontrado no estudo de Borba e Braz (2012).
Neste sentido, o trabalho com ênfase no produto cartesiano não corrobora também com as orientações curriculares, no qual o objetivo do trabalho com a Combinatória é “levar o aluno a lidar com situações-problema que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem” (BRASIL, 1997, p.40).
8.3.1.2.3 Representações simbólicas sugeridas nas atividades para a resolução dos problemas e na apresentação das atividades na coleção 2AI
Analisando as representações simbólicas apresentadas e sugeridas ao longo da coleção, podemos perceber que a obra comtempla este aspecto do tripé para a construção do conceito (Vergnaud, 1986) em seus livros. Com relação às representação utilizadas para apresentar as atividades, a coleção traz a maioria do problemas combinatórios com um desenho, uma tabela ou mais de uma representação, conforme a Tabela 7.
Tabela 7. Quantitativo de representações simbólicas (estratégias) apresentadas junto ao enunciado dos problemas em cada ano escolar/livro na coleção 2AI
Ano Escolar/ livro
Tipos de representações simbólicas na apresentação das atividades
Apenas enunciado Desenho Tabela/ Quadro Mais de uma*
1º 0 0 1 0 2º 0 7 2 1 3º 2 6 1 0 4º 4 3 1 2 5º 0 5 1 2 Total 6 21 5 7
*Mais de uma: questões que apresentavam mais de uma representação junto ao enunciado do problema.
As atividades apresentam várias ilustrações que servem como apoio ao pensamento do aluno e ajudam a refletir sobre as questões. A Figura 17, abaixo nos apresenta um exemplo da tabela como representação junto ao enunciado da questão, no qual o aluno precisa interpretá-la para compreender as combinações possíveis de roupas. Além de mobilizar o raciocínio combinatório, o mesmo estará lidando com um eixo atual do ensino da Matemática, a partir da leitura e interpretação de dados, como orientam os documentos oficiais desta área do conhecimento (BRASIL, 1997; PERNAMBUCO, 2012).
Figura 17. Problema de produto cartesiano apresentado com uma tabela na coleção 2AI
Fonte: Porta Aberta. Marília Centurion, Júnia La Scala, Arnaldo Rodrigues. Editora FNT, 2011, 5º ano, p. 80.
As representações simbólicas também são variadas nas sugestões de resolução das atividades. A Tabela 8, a seguir, apresenta os diferentes tipos de estratégias que a coleção sugere ao aluno para resolver as situações-problema, proporcionando, assim, que o pensamento combinatório seja mobilizado por diferentes formas de resolução.
Tabela 8. Quantitativo de representações simbólicas (estratégias) sugeridas nos problemas em cada ano escolar/livro na coleção 2AI
Ano Escolar
Tipos de representações simbólicas sugeridas para a resolução das atividades
Sem
sugestão Desenho Listagem
Árvore de possibilidades Tabela/ Quadro Calculo mental ou oral Mais de uma* Material Manipulável Diagrama 1º 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2º 3 3 0 0 0 0 2 1 1 3º 3 2 2 0 1 0 1 0 0 4º 4 0 3 0 0 0 3 0 0 5º 6 2 0 0 0 0 0 0 0 Total 17 8 5 0 1 0 6 1 1
*Mais de uma: questões que sugeriam mais de uma forma de resolução.
Ao tratar diretamente dos problemas combinatórios, a coleção propõe que o aluno resolva um mesmo problema por mais de uma representação, levando-o até o uso da multiplicação, conforme a Figura 18.
Figura 18. Problema de produto cartesiano com sugestão de resolução por diferentes representações
Fonte: Porta Aberta. Marília Centurion, Júnia La Scala, Arnaldo Rodrigues. Editora FNT, 2011, 3º ano, p. 147
A Figura 18 também aponta uma estratégia de resolução muito presente na coleção que é a pintura e o desenho das possibilidades. Desta forma, a partir de uma atividade prazerosa para os alunos neste ciclo, os mesmos podem solucionar situações combinatórias visualizando as combinações realizadas de uma forma bem próxima do real através do desenho e da pintura. Esta estratégia foi utilizada com frequência por alunos no mesmo ano de escolarização no estudo de Pessoa e Borba (2009) ao sondar o conhecimento dos alunos sobre a Combinatória.
A coleção valoriza o uso de diferentes representações simbólicas tanto na apresentação das atividades quanto como sugestão de resolução. Este aspecto está também presente nas orientações dos PCN (BRASIL, 1997) no qual é orientado o uso de diferentes representações para a resolução, fazendo desenhos, diagramas
de árvore, até esgotar as possibilidades, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas.
8.3.1.2.4 A sistematização como forma de organização da estratégia de resolução na coleção 2AI
O uso das estratégias não formais tais como o desenho, as tabelas ou quadros e a listagem, é bastante presente na resolução dos problemas combinatórios. Contudo, ao analisar se tais sugestões propõem a sistematização das estratégias como forma de resolução, não foi possível identificar este aspecto na coleção de forma explícita para o aluno. As situações-problema não chamavam a atenção para a organização das possibilidades, como vimos no estudo de intervenção de Pessoa e Santos (2012), auxiliando no esgotamento das possibilidades. Porém, ao apresentar a resposta ao professor, o autor, geralmente, apresenta-a de forma sistematizada por meio de uma listagem, conforme Figura 19. Este aspecto pode ser percebido pelo docente durante a correção coletiva das atividades, contudo não está dito explicitamente.
Figura 19. Apresentação de resposta ao professor de forma sistemática na coleção 2AI
Fonte: Porta Aberta. Marília Centurion, Júnia La Scala, Arnaldo Rodrigues. Editora FNT, 2011, 4º ano, p. 147.
Analisando como a coleção propõe as respostas dos problemas, identificamos que no ciclo de alfabetização matemática geralmente é solicitado além do valor das possibilidades, o registro das mesmas, conforme a Figura 20.
Figura 20. Problema de produto cartesiano com solicitação de resposta de cada possibilidade e valor total na coleção 2AI
Fonte: Porta Aberta. Marília Centurion, Júnia La Scala, Arnaldo Rodrigues. Editora FNT, 2011, 2º ano, p. 203.
Este tipo de atividade propõe que aos alunos iniciem o pensamento por meio do registro de todas as possibilidades, para depois pensar no total. Este fato se deve
ao momento inicial do trabalho combinatório para a mobilização do raciocínio através da visualização das possibilidades, uma vez que não se tem aprendido um cálculo numérico. No 4º e 5º ano são mais frequentes situações que solicitem apenas quantas são as possibilidades, o que não significa não ter que encontrá-las para resolver os problemas. Contudo, a coleção leva os alunos a esgotarem todas as possibilidades das questões, investindo em situação que questionam sobre o total de casos a serem combinados, promovendo um pensamento que vai além do provável, pensando-se em todas as possibilidades possíveis.
8.3.1.2.6 Orientações ao professor sobre a Combinatória na coleção 2AI
Analisando as orientações presentes na coleção sobre o ensino da Combinatória, não encontramos indicações no manual do professor. Contudo, ao longo das atividades o livro apresenta orientações que só o livro do docente possui indicando que as atividades abordam a ideia de Combinatória e com sugestões de representações para apresentar aos alunos. Com relação ao trabalho com os diversos tipos de problemas combinatórios e os invariantes que os distinguem, a obra não faz menção a estes aspectos. Neste sentido, não orienta o professor sobre os diferentes tipos de problemas que envolve a Combinatória, nem as características dos problemas para auxiliá-lo nas aulas e até para ampliar as atividades propostas. Seria interessante a orientação sobre tais invariantes, uma vez que nas atividades não os encontramos de forma explícita e segundo os estudos de Silva e Spinillo (2011) e Pessoa e Santos (2012), quando tais invariantes estão apresentados de forma clara aos estudantes a compreensão e a resolução são melhor desenvolvidas.
8.3.1.2.7 Síntese da relação entre os documentos oficiais, as pesquisas científicas e a coleção 2AI
No Quadro 6, a seguir, apresentamos uma síntese da relação entre os documentos oficiais, as pesquisas científicas e o livro didático sobre a Combinatória.
Quadro 6. Síntese da coleção 2AI em relação aos documentos oficiais e as pesquisas
Categoria Documentos oficiais Resultados de
pesquisas
Livro didático Abordagem sobre a
Combinatória: O
trabalho com este
conceito desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. BRASIL, 1997; PERNAMBUCO, 2012. PESSOAS e BORBA, 2009; PESSOA e SANTOS, 2011. Aborda a Combinatória em todos os livros, relacionando as ideias da multiplicação e à estatística. Significados combinatórios trabalhados nos livros: tipos de problemas combinatórios são explorados nos livros. BRASIL, 1997. VERGNAUD, 1986; PESSOA e BORBA, 2009. Apresenta todos os tipos de problemas, contudo se concentram mais em produtos cartesianos e não apresenta variedade de problemas por ano escolar.
As diferentes
representações simbólicas sugeridas nas atividades para a
resolução dos problemas e na apresentação das atividades. BRASIL,1997; PERNAMBUCO, 2012. VERGNAUD, 1986; PESSOA e BORBA, 2009. Apresenta a maioria dos problemas com um desenho junto aos enunciados e sugere a resolução por desenhos, listagens tabelas, etc. A sistematização como forma de organização da estratégia de resolução. PESSOA e SANTOS, 2011; PESSOA e SANTOS, 2012.
Não apresenta indícios de proposta de sistematização para o aluno. Esgotamento de possibilidades. PESSOA e BORBA, 2009 e 2012; PESSOA e SANTOS, 2011 e 2012. Solicita o esgotamento de possibilidades na maioria das atividades.
8.3.1.3 Coleção 3 dos anos iniciais do Ensino Fundamental (3AI)
8.3.1.3.1 Abordagem da Combinatória na coleção 3AI
A coleção 3AI, segundo dados do MEC, é a coleção de livro didático menos adotada no país. A avaliação realizada pelo Guia do Livro Didático de Alfabetização Matemática e Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental (BRASIL, 2012) aponta que a obra aborda uma metodologia que valoriza a resolução de problemas e as ligações da Matemática escolar com o cotidiano da criança. A este aspecto podemos relacionar com o que Vergnaud (1986) chama de uma concepção interativa de aprendizagem, quando o aluno se depara com problemas a resolver.
Além disso, o Guia destaca o trabalho com os jogos, que favorece a participação e a socialização dos alunos e estimula a verificação e a comparação de procedimentos, o uso e o registro de ideias e estratégias próprias de resolução dos problemas, semelhante ao orientado nos PCN. Contudo, aponta que os conhecimentos abordados não são satisfatoriamente sistematizados.
Com relação à distribuição dos conteúdos o Guia aponta que, no geral, a obra apresenta o estudo dos Números e Operações em quantidade adequada. Contudo, critica que no ciclo de alfabetização matemática há pouca articulação entre os demais campos abordados, além de a obra em si dar pouca atenção ao campo do Tratamento da Informação, no qual se valorizam, particularmente, a leitura e a interpretação de informações em gráficos de colunas, bem como a coleta e registro de dados.
Analisando a abordagem da Combinatória no Guia, foi possível identificar a presença deste conteúdo a partir do livro do 2º ano, relacionado às ideias da multiplicação e ao campo do Tratamento da Informação envolvendo conteúdos de Estatística e Probabilidade, como sugerem os documentos oficiais para este ciclo (BRASIL, 1997; PERNAMBUCO, 2012).
Tais dados são de fato presentes nos livros, contudo a abordagem é apresentada de forma diferente em cada livro da coleção. Nem sempre a Combinatória está relacionada às ideias da multiplicação, pois em alguns livros não é contemplada no estudo das estruturas multiplicativas, aparecendo em um capitulo à parte, relacionados com problemas de contagem (3º e 4º ano). Contudo, a coleção propõe a abordagem deste conteúdo junto Estatística e a Probabilidade, ao trabalhar a ideia de chance, conforme a Figura 21.
Fonte: Asas para Voar. Maria Helena Souza e Walter Spinelli. Editora Ática, 2011, 5º ano, p. 261.
O trabalho com a Combinatória é um fio condutor para a compreensão de situações probabilísticas, no qual o aluno terá a compreensão do espaço amostral ao encontrar as possibilidades existentes em determinado caso e a partir disso calcular a probabilidade solicitada. Este tipo de abordagem é recomendada nos PCN de Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1997) e que de forma contínua é aprofundada nos ciclos seguintes.
Com relação ao quantitativo de atividades combinatórias presentes na coleção e como tais problemas estão distribuídos nos livros, a Tabela 9, a seguir no apresenta estes dados.
Tabela 9: Quantitativo de problemas combinatórios distribuídos em cada ano escolar/livro na coleção 3AI
Ciclo Ano escolar/livro Quantidade de problemas combinatórios Alfabetização Matemática 1º ano 0 2º ano 20 3º ano 15 Matemática 4º ano 25 5º ano 16 Total 76
Mesmo a coleção 3AI sendo a menos adotada no país, o quantitativo total de problemas presentes na coleção é bastante semelhante à coleção 1AI, a mais adotada, segundo dados do MEC. Neste sentido, a coleção apresenta uma quantidade expressiva de problemas combinatórios, bem distribuídos nos livros do 2º ao 5º ano.
Dentre o quantitativo de atividades, foram encontrados, em sua maioria, problemas a resolver, apresentando exemplos resolvidos apena no glossário ao final dos livros. Além disso, a coleção, geralmente, propõe o início do trabalho com a Combinatória por meio de uma situação explicativa, ilustrada com figuras e diálogos, apontando muitas vezes para os invariantes do problema em questão, conforme a Figura 22.
Figura 22. Problemas que chamam atenção ao invariante de ordem na coleção 3AI
Fonte: Asas para Voar. Maria Helena Souza e Walter Spinelli. Editora Ática, 2011, 5º ano, p. 257.
Este tipo de proposta, além de não trazer uma conceitualização direta do conteúdo, proporciona o aluno a pensar sobre as características do problema e
visualizar nas imagens e tabelas como as possibilidades são geradas. Neste exemplo em específico, são tratadas situações referentes à ordem, com problemas de permutação, no qual a explicitação do invariante possibilita ao aluno uma melhor resolução das possibilidades, conforme visto nos resultados do estudo de Silva e Spinillo (2011) ao comprar alunos resolvendo problemas com os invariantes explícitos ou não.
8.3.1.3.2 Significados combinatórios trabalhados nos livros da coleção 3AI
Analisando como os significados da Combinatória estão presentes na coleção, foi possível identificar todos os tipos de problemas na obra, conforme a Tabela 10.
Tabela 10. Quantidade de problemas por significados em cada ano escolar/livro na coleção 3AI
Ciclo Ano
escolar/livro
Quantidade de problemas combinatórios por significado
Produto Cartesiano
Arranjo Combinação Permutação Alfabetização matemática 1º ano 0 0 0 0 2º ano 13 1 4 2 3º ano 6 1 5 3 Matemática 4º ano 11 2 5 7 5º ano 11 0 1 4 Total 41 4 15 16
Os dados evidenciam que a obra apresenta um maior quantitativo de problemas de produto cartesiano, seguido da permutação e da combinação. Os problemas de arranjo mais uma vez são os menos presente nos livros, mesmo as orientações curriculares solicitando o trabalho com todos os tipos de problemas e as pesquisas científicas apontando a necessidade de se trabalhar com a variedade de problemas combinatórios para que se superem dificuldades na compreensão deste raciocínio.
Contudo, a coleção 3AI ao abordar a Combinatória de forma direta, de maneira geral, varia nos tipos de situações combinatórias nos problemas trabalhados, não tratando apenas do produto cartesiano, como visto nas outras coleções e como comumente é associado neste ciclo de ensino. Esta abordagem da
Combinatória é importante, pois proporciona o aluno a pensar neste raciocínio pelas diferentes situações existentes no conceito, que envolve pensar nos invariantes de cada uma destas situações. Este aspecto também se relaciona com o que Vergnaud (1986) apresenta como elemento para o desenvolvimento do conceito, a compreensão dos significados envolvidos nas situações.
8.3.1.3.3 Representações simbólicas sugeridas nas atividades para a resolução dos problemas e na apresentação das atividades na coleção 3AI
Analisando como a coleção apresenta as situações-problema de Combinatória, foi possível observar, a partir da Tabela 11, que a obra prioriza a apresentação das atividades com a utilização de um desenho como representação simbólica junto ao enunciado. A utilização deste desenho, por sua vez, pode auxiliar o pensamento do aluno na descoberta das possibilidades do problema.
Tabela 11. Quantitativo de representações simbólicas (estratégias) apresentadas junto ao enunciado dos problemas em cada ano escolar/livro 3AI
Ano Escolar/ livro
Tipos de representações simbólicas na apresentação das atividades
Apenas enunciado Desenho Tabela/ Quadro Mais de uma*
1º 0 0 0 0 2º 9 11 0 0 3º 4 11 0 0 4º 7 16 0 2 5º 2 12 0 2 Total 22 50 0 4
*Mais de uma: questões que apresentavam mais de uma representação junto ao enunciado do problema.
No que se refere às sugestões de estratégias de resolução presentes nos enunciados das questões, a Tabela 12 a seguir no apresenta como a coleção propõe que o aluno às resolva.
Tabela 12. Quantitativo de representações simbólicas (estratégias) sugeridas nos problemas em cada ano escolar/livro na coleção 3AI
Escolar atividades Sem
sugestão Desenho Algoritmo Listagem
Árvore de possibilidades Tabela/ Quadro Calculo mental ou oral Mais de uma* Material manipulável 1º 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2º 12 6 1 0 0 0 0 0 1 3º 8 2 1 3 0 0 0 0 1 4º 15 3 0 7 0 0 0 0 0 5º 10 0 0 2 2 0 0 2 0 Total 45 11 2 12 2 0 0 2 2
*Mais de uma: questões que sugeriam mais de uma forma de resolução.
É possível perceber que a maioria das questões não apresentam sugestão de resolução, deixando a critério do aluno escolher como resolver os problemas. Contudo, a coleção apresenta uma variedade de representações simbólicas nas demais atividades que sugere, por meio de listagem, desenhos, árvore de possibilidades e até apresentando material manipulável, como mostra a Figura 23.
Figura 23. Problema de produto cartesiano solicitando o uso de material manipulável na coleção 3AI
Fonte: Asas para Voar. Maria Helena Souza e Walter Spinelli. Editora Ática, 2011, 3º ano, p. 246.
Este tipo de atividade é propícia para a mobilização do pensamento combinatório nesta fase inicial em que o conteúdo é trabalhado com as crianças, no qual a visualização das possibilidades ao mover as peças de roupas apresenta de
maneira concreta a construção da solução do problema. Esta estratégia de resolução foi utilizada de forma semelhante por Matias, Santos e Pessoa (2011) ao sondarem os conhecimentos combinatórios de crianças na Educação Infantil. Utilizando o material manipulável, que se tratava de fichas com os desenhos dos elementos do problema, assim como no exemplo do livro, os alunos levantaram possibilidades das situações apresentadas, demonstrando compreendê-las.
8.3.1.3.4 A sistematização como forma de organização da estratégia de resolução na coleção 3AI
A coleção apresenta em várias de suas atividades a proposta de sistematização de solução, aperfeiçoando a estratégia de resolução, como na atividade da Figura 24.
Figura 24. Problema de permutação com proposta de sistematização na coleção 3AI
Fonte: Asas para Voar. Maria Helena Souza e Walter Spinelli. Editora Ática, 2011, 4º ano, p. 188.
Neste tipo de atividade o aluno é levado a organizar as possibilidades fixando um elemento e registrando todas as possibilidades com ele, para que assim não as registre repetidas ou se esqueça de alguma. Este tipo de estratégia é importante
como apontada nos estudos de sondagem de Pessoa e Borba (2009) e Pessoa e Santos (2011) nos quais os alunos ao sistematizarem a listagem obtinham maior sucesso, além disso, nas intervenções realizadas por Pessoa e Santos (2012) o uso da sistematização levava os alunos também a generalizarem respostas, principalmente quando o problema exigia um número maior de possibilidades. Por exemplo, na Figura 24 acima, percebendo-se que com o amarelo no topo são formadas duas bandeiras e com o azul no topo também duas, com o vermelho também serão formadas duas, encontrando um total de seis possibilidades de bandeiras.
8.3.1.3.5 Esgotamento de possibilidades na coleção 3AI
As atividades propostas na coleção, ao questionar as possibilidades, variam em solicitar o quantitativo total ou o registro de cada uma das possibilidades, com