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CHAPITRE V CONCLUSION GENERALE

2. Etude des algorithmes et limites

a. Méthodologie d’essai des algorithmes

L’objectif de cette partie est de pouvoir évaluer la capacité des algorithmes à reconstruire un signal de température. Dans un premier temps, on travaillera sur des signaux analytiques et non bruités. Afin de tester les différentes techniques de reconstruction, une méthodologie d’essai a été mise en place à partir de signaux simulés. Dans un premier temps, les constantes de temps des thermocouples sont maintenues constantes, c'est-à-dire que nous nous plaçons dans le cas où la vitesse du fluide est constante.

181  Procédure d’essai des algorithmes :

La méthode appliquée est la suivante :

- Le signal de température du gaz 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) est créé.

- Les constantes de temps des deux thermocouples sont choisies. On a alors τ1et τ2,

constantes respective du thermocouple 1 (tck1), et du thermocouple 2 (tck2). Les deux constantes de temps sont considérées constantes car nous faisons l’hypothèse que la vitesse du gaz est constante dans la veine fluide.

- La température des deux thermocouples 𝑇𝑚1(t) et 𝑇𝑚2(t) est calculée. Comme on

suppose que nos thermocouples se comportent comme des systèmes du premier ordre, avec le modèle suivant :

- 𝑇𝑔(t) = 𝑇𝑚1(t) + τ1(t).𝑑𝑇𝑑𝑡𝑚1(𝑡) 𝑒𝑡 ∶ 𝑇𝑔(t) = 𝑇𝑚2(t) + τ2(t).𝑑𝑇𝑑𝑡𝑚2(𝑡)

-

- Il est donc possible de calculer 𝑇𝑚1(t) et 𝑇𝑚2(t) grâce à la méthode d’Euler en

prenant comme conditions initiales : 𝑇𝑚1(0) = 𝑇𝑚2(0) = 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(0).

- Les 6 méthodes de reconstruction de la température précédemment étudiées ont été programmées sous Matlab. A partir des données 𝑇𝑚1(t) et 𝑇𝑚2(t), ces 6

algorithmes recalculé la température du gaz 𝑇𝑔(t).

- Les résultats de 𝑇𝑔(t) sont ensuite comparés au signal initial de 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) pour

chaque méthode de calcul. Sont alors calculé la moyenne de l’écart entre les deux signaux, ainsi que l’étendu et l’écart-type.

- Caractéristique du signal de température simulé :

Le signal de température 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) est défini par la formule suivante :

𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) = 600 + 200. sin (2. π. f. t)

Ce signal de température est donc sinusoïdal et varie entre 400°C et 800°C à une fréquence f. Il est étudié sur 10 périodes avec dans un premier temps 500 points par période.

 Essai de la méthodologie :

Conditions d’essai des algorithmes :

- Le signal de température 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) est simulé à une fréquence f = 66,7Hz, ce qui est

équivalent à la fréquence des pulsations que l’on peut trouver en entrée de la turbine d’un moteur 4 cylindres, 4 temps, à une vitesse de 2000rpm.

- Les thermocouples ont une constante de temps fixée à τ1= 0,02s et τ2= 0,05s

pour tout t (la vitesse du fluide est donc considérée constante au cours de la simulation.

La méthodologie d’essai est alors appliquée, dans un premier temps, on obtient l’évolution de la température des thermocouples en fonction du temps.

182

Figure 181 : Profil de température testé réponse des thermocouples

Sur le graphique ci-dessus (Figure 181), on observe le signal 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) ainsi que la

température des deux thermocouples tck1 et tck2. On peut remarquer que l’amplitude de leurs fluctuations en température est bien plus faible celle du signal 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t). Il est donc bien nécessaire

d’appliquer une reconstruction afin d’obtenir une mesure réaliste de la température du gaz si on se place dans ces conditions d’essai.

Les 6 algorithmes sont ensuite appliqués aux signaux 𝑇𝑚1(t) et 𝑇𝑚2(t), et les résultats sont

comparés au signal 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t). Les résultats de ces comparaisons sont inscrits dans leTableau 29.

Structure CT Structure DE

Etendue Moindres carrés global 1,214E-03 1,536E-02

Moindres carrés local 3,258E-03 1,536E-02

Kalman 5,102E-03 1,008E-01

Moyenne Moindres carrés global 2,983E-04 -1,463E-04

Moindres carrés local 2,330E-04 -1,463E-04

Kalman -3,313E-03 1,024E-03

Ecart type Moindres carrés global 3,807E-04 5,398E-03

Moindres carrés local 1,106E-03 5,398E-03

Kalman 2,537E-02 9,712E-03

Tableau 29 : Bilan statistique des erreurs obtenues pour les différents algorithmes

On peut constater que l’écart type en °C est très faible (toujours inférieur à 0.1°C). On a donc montré la capacité de nos 6 méthodes à reconstruire un signal de température dans un cas simple. Nous pouvons donc chercher à mettre davantage à l’épreuve nos algorithmes en cherchant à nous rapprocher d’un signal en entrée de turbine ou en sortie de moteur.

400 500 600 700 800 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 te m rat ur e C)

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b. Sensibilité des algorithmes

Lors de l’analyse fréquentielle des pressions en entrée de la turbine, nous avons observé que les fréquences notables n’excédaient pas 1000Hz pour un régime moteur de 2000rpm. On peut donc faire l’hypothèse que cette plage de fréquence est la même les fluctuations de température. De plus, on peut observer que les algorithmes permettant de recalculer les constantes de temps des thermocouples se basent sur la discrétisation des signaux. Il paraît ainsi nécessaire de connaître les limites des algorithmes en fonction de la fréquence du signal ainsi qu’en fonction de la fréquence d’acquisition. Pour cela, nous avons réalisé une étude de reconstruction de la température en se basant sur la méthodologie précédemment développée en modifiant la fréquence d’acquisition des signaux de température ainsi qu’en modifiant la fréquence des signaux de température.

 Condition d’essai :

Conditions d’essai des algorithmes :

- Le signal de température 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) est défini par la formule suivante :

- 𝑇𝑔𝑠𝑖𝑚(t) = 600 + 200. sin(2. π. f. t)

- Ce signal de température est donc sinusoïdal et varie entre 400°C et 800°C à une fréquence f. Il est étudié sur 10 périodes.

- Le signal de température 𝑇𝑔_𝑠𝑖𝑚(t) est simulé pour plusieurs fréquences f ainsi que

pour plusieurs fréquences d’acquisitions.

- La fréquence f varie comme suit : 1…9Hz (par pas de 1Hz), 10…90Hz (par pas de 10Hz), 100…900Hz (par pas de 100Hz), 1000…10000Hz (par pas de 1000Hz). Il y a donc 37 cas à tester

- La fréquence d’acquisition est définie par un nombre de point acquis par période de fluctuation de température. Le nombre de point varie comme suit : 10…90 pts/période (par pas de 10), 100…900 pts/période (par pas de 100), 1000…10000 pts/période (par pas de 1000). Il y a donc 28 cas à tester

- Les thermocouples ont une constante de temps fixée à τ1= 0,01s et τ2= 0,03s

pour tout t (la vitesse du fluide est donc considérée constante au cours de la simulation.

Cette étude comporte ainsi 28 x 37 = 1036 cas d’étude.

 Résultats :

Ci-dessous le graphique (Figure 182) représentant la variation de l’écart type des reconstructions par l’estimateur de Kalman avec les deux types de structure CT et DE.

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Figure 182 : Ecart types obtenus dans le cas de l’utilisation de l’estimateur de Kalman

On constate qu’il n’est pas possible de tirer des conclusions claire quant à la sensibilité de l’estimateur de Kalman par rapport à la fréquence du signal et au nombre de points par période. On peut toutefois remarquer que l’écart-type augmente fortement avec l’augmentation de la fréquence du signal de température, et ce peu importe le nombre de point par période de fluctuation de la température. Ces deux algorithmes semblent donc être limités dans notre cas d’utilisation car certaines fréquences à mesurer pourraient donner des résultats éloignés de la réalité.

185 Ci-dessus, un graphique (Figure 183) représentant l’évolution de l’écart type correspondant aux reconstructions par l’algorithme des moindres carrés en fonction de la fréquence et du nombre de points par période. Les reconstructions sont faites avec les deux types de structures différentes CT et DE et les deux algorithmes des moindres carrés, local et global. On constate pour les quatre méthodes de reconstruction que l’écart type diminue lorsqu’on augmente le nombre de points par période. Il est donc aisé de choisir les paramètres d’acquisitions pour obtenir une reconstruction du signal de bonne qualité.

Ces reconstructions ont été réalisées pour des thermocouples dont la constante de temps est constante. Il sera nécessaire par la suite de vérifier qu’il en est de même dans le cas où la vitesse du fluide varie au cours du temps. Ajoutons pour finir que l’ensemble de ces simulations auront durées en tout un peu plus de 80 heures.