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Etats ` ´ a deux vibrons

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Les ´etats `a deux vibrons sont les premiers ´etats quantiques qui ressentent la non lin´earit´e. Pour v = 2, la fonction d’onde est d´evelopp´ee sur la base locale |n1, n2i d´efinie par :

|n1, n2i= ∆n1n2bn1bn2|∅i, (2.62) o`un1etn2repr´esentent les positions de chaque quantum. Le facteur de normalisation

n1n2 est introduit pour tenir compte de l’indiscernabilit´e de ces bosons :

n1n2 =





1 sin1 < n2 1/√

2 sin1 =n2 0 sin1 > n2

(2.63)

La contrainte n1 6n2 entraˆıne que le nombre d’´etats d´efinissant la base est exacte-ment ´egal `a la dimension de l’espace `a deux bosons :D2 =N×(N+ 1)/2. Le facteur de normalisation ∆n1n2 assure l’orthonormalit´e de la base |n1, n2i et permet d’´ evi-ter la sym´etrisation de la fonction d’onde apr`es la diagonalisation. L’´etat quantique s’´ecrit donc, dans la base |n1, n2i :

|ψi= X

n16n2

ψ(n1, n2)|n1, n2i, (2.64) La repr´esentation de l’´equation de Schr¨odinger ˆH|ψi=ω|ψi conduit `a un ensemble d’´equations index´ees par les diff´erentes valeurs des entiersn1 etn2. Lorsque les deux vibrons sont suffisamment espac´es l’un de l’autre, c’est-`a-dire lorsque n2 > n1+ 2, ils n’interagissent pas `a travers le terme anharmonique. Ils se comportent comme deux particules libres se d´epla¸cant sur le r´eseau ind´ependamment l’une de l’autre si bien que l’´equation de Schr¨odinger s’´ecrit :

(2ˆω0 −ω)ψ(n1, n2) + Φ[ψ(n1, n2+ 1) +ψ(n1, n2 −1)

+ψ(n1+ 1, n2) +ψ(n1−1, n2)] = 0 (2.65) Lorsque les deux vibrons se trouvent sur des sites voisins, c’est-`a-dire lorsque n2 = n1 + 1, on obtient l’´equation

(2ˆω0 −ω)ψ(n1, n1+ 1) +√

2Φ[ψ(n1, n1) +ψ(n1+ 1, n1+ 1)]

+ Φ[ψ(n1, n1+ 2) +ψ(n1−1, n1 + 1)] = 0 (2.66) Les deux vibrons n’interagissent toujours pas `a travers l’anharmonicit´e mais `a cause de l’indiscernabilit´e des bosons, le terme √

2 modifie l’amplitude de la transition vers les ´etats o`u les deux vibrons sont sur le mˆeme site. Finalement lorsque les deux vibrons se trouvent sur le mˆeme site, ils interagissent par le biais de l’anharmonicit´e et l’´equation de Schr¨odinger s’´ecrit :

(2ˆω0−2A−ω)ψ(n1, n1) +√

2Φ[ψ(n1, n1+ 1) +ψ(n1−1, n1)] = 0 (2.67)

n1

n2 (a)

2 ˆω0−2A

2 ˆω0 Φ

√2Φ

×

m= 0 m= N−1

2

(b)

×

2 ˆω0 2 ˆω0−2A 2 ˆω0+ (−1)pΦk

Φk = 2Φ cos(k/2)

√2Φk

Fig. 2.1 - R´eseaux ´equivalents du mod`ele de Hubbard : (a) R´eseau 2D, (b) R´eseau 1D

La fonction d’ondeψ(n1, n2) d´ecrit l’´evolution de deux vibrons ´evoluant sur un r´eseau 1D. Cependant, comme le montrent les Eqs. (2.65), (2.66) et (2.67), elle peut ˆetre consid´er´ee comme la fonction d’onde d’une unique particule fictive en mouvement sur un r´eseau bidimensionnel (2D). Cette particule se propage de site en site selon une description de liaisons fortes, o`u chaque site est caract´eris´e par les coordonn´ees n1 et n2. Puisque l’indiscernabilit´e des vibrons impose la restriction n1 6 n2, le r´eseau ´equivalent est semi-infini. Dans le cœur du r´eseau, l’´energie de chaque site est donn´ee par 2ω0 et la particule fictive passe d’un site `a l’autre `a travers la constante de saut Φ. Mais lorsque l’on se rapproche du bord n1 =n2, deux types de d´efauts apparaissent. D’une part, les transitions qui m`enent au bord du r´eseau correspondent

`

a un couplage√

2Φ. D’autre part, l’´energie des sites de bord est corrig´ee par le facteur

−2A.

Cette ´equivalence entre les Eqs. (2.65), (2.66) et (2.67) et un mod`ele de liaisons fortes sur le r´eseau 2D repr´esent´e sur la Fig. 2.1a permet d’envisager la forme des

´etats propres. Tout d’abord, la d´elocalisation de la particule fictive dans le cœur du r´eseau 2D d´ecrit une situation dans laquelle les deux vibrons se propagent librement et ind´ependamment l’un de l’autre. Les ´etats associ´es `a ce type de processus sont appel´es«´etats libres». Ensuite, il est bien connu en physique du solide qu’un d´efaut a pour cons´equence de cr´eer un ´etat localis´e. Par cons´equent, la pr´esence d’une ligne de d´efauts dans le r´eseau 2D entraˆıne l’apparition, pour la particule fictive, d’´etats localis´es au voisinage de cette ligne mais parfaitement ´etendus selon la direction sp´ecifi´ee par l’´equation n1 = n2. Dans le point de vue des deux vibrons, ces ´etats

localis´es sont appel´es«´etats li´es»puisqu’ils traduisent une localisation de la distance de s´eparation entre les deux quanta. Ceux-ci forment alors une paire qui se comporte comme une unique particule capable de se d´elocaliser le long du r´eseau physique 1D.

A ce stade, la d´etermination des ´etats `a deux vibrons est facilit´ee par l’utilisation de l’invariance translationnelle. En effet, pour le r´eseau fictif 2D, la figure 2.1a montre clairement l’invariance du syst`eme lorsque l’on incr´emente d’une mˆeme quantit´e les deux coordonn´ees n1 et n2. Cette transformation correspond `a une translation du centre de masse des deux vibrons le long du r´eseau physique. Par cons´equent, l’invariance translationnelle traduit la d´elocalisation du centre de masse des deux quanta, que l’´etat consid´er´e soit un ´etat libre ou un ´etat li´e. En tenant compte de ce m´ecanisme, il est alors possible de r´eduire la dimension du sous-espace `a deux vibrons, et donc celle du r´eseau ´equivalent sur lequel se d´eplace la particule fictive.

Pour cela, introduisons deux coordonn´ees :n1 la position du premier vibron etm= n2−n1 la distance entre les deux vibrons. Sin1 peut prendre les N valeurs d´ecrivant les sites du r´eseaux, les conditions aux limites p´eriodiques restreignent l’interdistance m `a ne pas d´epasser la demi-longueur du r´eseau. D´efinir une interdistance au-del`a de cette distance ne peut avoir de sens. Ainsi m varie de 0 `a (N −1)/2, si bien que la fonction d’onde est bien d´ecompos´ee sur une base de dimensionN(N+ 1)/2. On notera que la description utilis´ee dans cet expos´e s’applique uniquement pour les valeurs impaires de N, le cas N pair n´ecessitant un traitement l´eg`erement diff´erent.

Cependant, `a la limiteN → ∞, la parit´e de N ne joue aucun rˆole sp´ecifique.

Puisque la fonction d’onde est invariante lorsque les deux vibrons effectuent une translation sur le r´eseau, elle se d´eveloppe sur une base d’ondes planes selon :

ψ(n1, n2 =n1+m) = 1

√ N

X

k

eik(n1+m/2)ψk(m) (2.68) o`u k d´esigne le vecteur d’onde associ´e `a la coordonn´ee du centre de masse (n1 + n2)/2 = n1+m/2. Compte tenu des conditions aux limites p´eriodiques,k prend les N valeurs :

k= 2pπ

N , p=−N −1

2 , . . . , N −1

2 (2.69)

Le vecteur d’onde k est un bon nombre quantique si bien que l’´equation de Schr¨ o-dinger pourra ˆetre r´esolue pour chaque valeur dek. Ainsi, pour un valeur dek fix´ee, l’application de la transformation Eq. (2.68) aux Eqs. (2.65), (2.66) et (2.67) per-met d’obtenir une ´equation de Schr¨odinger pour la fonction d’onde r´esiduelleψk(m).

Cependant, cette ´equation d´epend explicitement des valeurs dem. Lorsque les deux quanta sont suffisamment s´epar´es, c’est-`a-dire lorsque m>2, l’Eq. (2.65) devient :

(2ˆω0−ω)ψk(m) + Φkk(m+ 1) +ψk(m−1)] = 0 (2.70) o`u Φk = 2Φ cos(k/2). Si les deux vibrons se trouvent sur des sites voisins (m = 1), l’Eq. (2.66) devient :

(2ˆω0−ω)ψk(1) +√

kψk(0) + Φkψk(2) = 0 (2.71)

Enfin lorsque les deux quanta se trouvent sur le mˆeme site (m = 0), l’Eq. (2.67) devient :

(2ˆω0 −2A−ω)ψk(0) +√

kψk(1) = 0 (2.72) Aux Eqs. (2.70), (2.71) et (2.72) il faut ´egalement ajouter les conditions aux limites provenant de l’indiscernabilit´e des vibrons et de la p´eriodicit´e du r´eseau. En effet, si l’on tient compte de la propri´et´e d’invariance ψ(n1, n2) = ψ(n2 − N, n1), alors en utilisant la quantification du vecteur d’onde k (Eq. (2.69)), on remarque que ψk(N2+1) et ψk(N2−1) sont ´equivalents `a une phase pr`es :

ψk(N2+1) = (−1)peik2ψk(N2−1) (2.73) o`u (−1)p =eikN2. Cette relation impose des conditions aux limites pour m = (N − 1)/2 qui s’expriment par l’´equation :

(2ˆω0−ω+ (−1)pΦkk(N−12 ) + Φkψk(N−32 ) = 0 (2.74) Comme le montrent les Eqs. (2.70), (2.71), (2.72) et (2.74) la dynamique de l’interdistance entre les deux vibrons peut ˆetre mod´elis´ee par celle d’une particule fictive d´ecrite par la fonction d’onde ψk(m) et se d´epla¸cant sur le r´eseau 1D repr´ e-sent´e sur la figure 2.1b. La restriction 0 6 m 6 (N −1)/2 impose que ce r´eseau pr´esente une taille finie. Dans le cœur du r´eseau, l’´energie de chaque site est 2ω0 et le couplage entre sites voisins est Φk. On notera que le vecteur d’onde k fait ici figure de param`etre ext´erieur. Ce r´eseau 1D ´equivalent pr´esente trois d´efauts. Tout d’abord, l’anharmonicit´e modifie l’´energie du sitem = 0 d’un facteur−2A. Ensuite le couplage entre les sites m = 0 et m = 1 est √

k. Finalement, l’´energie du site de bordm = (N −1)/2 est corrig´ee du facteur (−1)pΦk.

L’utilisation des Eqs. (2.70), (2.71), (2.72) et (2.74) permet de d´eterminer l’en-semble des ´etats. Puisque le probl`eme se r´esume `a l’´etude d’un r´eseau de taille finie poss´edant trois d´efauts, il est naturel d’introduire une fonction d’onde poss´edant trois param`etres. D’une part, cette fonction d’onde doit d´ecrire une particule dans un r´eseau «localement» p´eriodique et de taille finie. Elle doit donc contenir des ondes planes progressives et r´egressives. D’autre part, le d´efaut correspondant `a la modulation de la constante de saut entre les sites m = 0 et m = 1 (√

k) va per-turber la fonction d’onde au voisinage du bord. Par cons´equent, nous allons chercher une solution de la forme :

ψk(m) =

(γ pourm = 0

αeiqm+βe−iqm pourm >1 (2.75) o`u le param`etre qd´etermine l’allure de la fonction d’onde. Si celui-ci est r´eel, il joue le rˆole de vecteur d’onde et la fonction d’onde associ´ee sera d´elocalis´ee. A l’inverse si q est complexe, la fonction d’onde se comportera comme une solution spatialement localis´ee. De plus, le param`etre q sp´ecifie explicitement les valeurs possibles des

´energies propres ω. En effet, en ´etudiant l’´equation de Schr¨odinger dans le cœur

du r´eseau ´equivalent, c’est-`a-dire en substituant l’Eq. (2.75) dans l’Eq. (2.70), nous obtenons la relation de dispersion des ´etats `a deux vibrons :

ω2(k, q) = 2ˆω0+ 2Φkcosq (2.76)

A ce stade, les valeurs possibles du param`etre q s’obtiennent `a partir de l’ana-lyse de l’´equation de Schr¨odinger au niveau des d´efauts du r´eseau ´equivalent. Tout d’abord, l’utilisation de la relation de dispersion et la substitution de l’Eq. (2.75) dans l’Eq. (2.71) conduit `a la relation suivante entre α, β et γ :

2γ =α+β (2.77)

Ensuite, en utilisant cette derni`ere relation ainsi que les Eqs. (2.75) et (2.76), l’´ equa-tion de Schr¨odinger pour les deux extr´emit´es du r´eseau ´equivalent, c’est-`a-dire les Eqs. (2.72) et (2.74), conduit au syst`eme suivant :

(A−iΦksinq)α+ (A+iΦksinq)β = 0 (2.78a) eiqN/2α+ (−1)p−1e−iqN/2β = 0 (2.78b) Ce syst`eme poss`ede des solutions non triviales si et seulement si :

Φksinq+iA

Φksinq−iA = (−1)peiqN (2.79) La solution de cette ´equation d´efinit l’ensemble des valeurs de q et d´etermine donc l’ensemble des vecteurs propres et des valeurs propres du syst`eme.

En guise d’illustration, ´etudions le cas A= 0. L’Eq. (2.79) devient : q=−πp

N +2sπ

N (2.80)

o`usest un entier. La forme des solutions devient plus claire en effectuant les change-ments de variablesp=p1+p2 ets=p2. Dans ce cas les variablesketqdeviennent :

k =k1+k2 q= k2−k1

2

(2.81)

o`u les vecteurs d’onde k1 et k2 sont d´efinis par k1 = 2p1π/N et k2 = 2p2π/N. En utilisant ce changement de variables, les ´energies propres deviennent

ω2(k1, k2) = 2ˆω0+ 2Φ cosk1 + 2Φ cosk21(k1) +ω1(k2) (2.82) Ce r´esultat montre clairement que les ´etats propres d´ecrivent la propagation de deux ondes planes ind´ependantes de vecteur d’ondek1 et k2, en parfait accord avec l’approximation harmonique pr´esent´ee par les Eqs. (2.12) et (2.13).

Lorsque A 6= 0 alors il existe deux types de solutions, selon que q soit r´eel ou complexe. Pourq r´eel, on peut tout d’abord remarquer que pour toute solutionq de l’Eq. (2.79) il existe une solution−q. De plus, l’Eq. (2.78a) qui d´etermine la relation entre α et β, c’est-`a-dire les vecteurs propres, est invariante sous le changement de variable q → −q. Ainsi pour toute solution q de l’Eq. (2.79), la solution −q correspond au mˆeme vecteur propre. Ceci permet de restreindre les solutions q `a l’intervalle 06 q 6π. En remarquant que le membre de gauche de l’Eq. (2.79) est un nombre complexe de norme unit´e, q est alors d´etermin´e par l’´equation :

2 arctan

Φksinq A

=qN + [p−1−2s]π (2.83) o`usest un entier. Lorsque la taille du r´eseau devient tr`es importante,N → ∞, alors l’ensemble des valeurs de q forme un continuum dans l’intervalle 0 6 q 6 π. Par cons´equent les ´energies associ´ees sont celles d´ecrivant deux vibrons libres (Eqs. (2.76) et (2.82)).

Lorsque q est complexe, on cherche des solutions de la forme q = Q+iκ. Si l’on choisit κ > 0 alors seules les solutions telles que β = 0 pr´esentent une r´ealit´e physique puisque non divergentes. Ce choix, report´e dans l’expression de la fonction d’onde (2.75) conduit `a :

ψk(m) =αe−mκeiQm

1 + 1

√2−1

δm,0

(2.84) o`u

Q=sπ (2.85a)

sinhκ = (−1)s−1 A

Φk (2.85b)

α2 = 2A

pA2+ 4Φ2cos2(k/2) (2.85c) et s est un entier d´etermin´e par le signe de Φ. Puisque l’on impose κ > 0, alors s est impair lorsque Φ est positif et pair lorsque Φ est n´egatif.

Dans le r´eseau 1D ´equivalent, l’Eq. (2.84) d´ecrit un ´etat localis´e au voisinage du bord m = 0. Il correspond `a une d´ecroissance exponentielle de la fonction d’onde sp´ecifi´ee par la longueur de localisation ξ = 1/κ. Dans le point de vue des deux vibrons, la localisation traduit la formation d’un ´etat li´e dans lequel les deux quanta sont pi´eg´es l’un vers l’autre. La longueur de localisation est alors une mesure, au sens des probabilit´es quantiques, de la valeur moyenne de la distance de s´eparation entre les deux vibrons de la paire. L’Eq. (2.85b) montre clairement que l’anharmonicit´e gouverne le degr´e de localisation et plusAaugmente, plus la longueur de localisation ξ diminue. On peut remarquer ´egalement que cette longueur d´epend du vecteur d’ondek. PourA donn´e, elle est maximale en k = 0 et devient nulle lorsquek =π.

-6 -4 -2 0 2 4

-3 -2 -1 0 1 2 3

ω2(k,σ)

k

(a) (b)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ψkσ(m)

m

(a) (b)

Fig. 2.2 -Fr´equences propres (a) et vecteurs propres (b) de l’hamiltonien de Hubbard pour v= 2, ωˆ0 = 0et A= 2Φ. Les vecteurs propres sont donn´es pourk= 0. En carr´e vide est repr´esent´e l’´etat li´e, en rond vide est illustr´e un ´etat libre.

Finalement, l’utilisation des Eqs. (2.85) et (2.76) fournit l’´energie de l’´etat li´e d´efinie par :

ω2(k) = 2ˆω0−2p

A2+ 4Φ2cos2(k/2) (2.86) Comme illustr´e sur la figure 2.2, l’ensemble des ´etats libres forme un continuum dans le spectre des ´etats `a deux vibrons qui s’´etend de 2ω0−4Φ `a 2ω0+ 4Φ. Les ´etats li´es se regroupent dans une bande localis´ee en dessous du continuum sur l’ensemble de la zone de Brillouin et dont la largeur est d´efinie par :

∆ω= 2√

A2+ 4Φ2−2A (2.87)

Ainsi, d’un point vue dynamique, les ´etats li´es d´ecrivent une paire de vibrons se comportant comme une unique particule d´elocalis´ee sur le r´eseau et dont les ´energies permises appartiennent `a une bande. La dynamique de la paire est essentiellement gouvern´ee par l’anharmonicit´e intramol´eculaire conf´erant ainsi aux ´etats li´es le nom de breathers quantiques. En effet, si l’on cr´ee initialement une paire en un point du r´eseau, son centre de masse va se d´elocaliser sur une ´echelle de temps inversement proportionnelle `a la largeur de la bande. Par cons´equent, plus l’anharmonicit´e sera importante, plus la bande sera ´etroite et donc plus le temps n´ecessaire `a la paire pour se d´elocaliser sera important. Typiquement, pour A Φ, la paire restera localis´ee sur le site initial durant un temps de l’ordre de A/4Φ2. N´eanmoins, `a l’inverse du breather classique, l’invariance translationnelle du r´eseau empˆeche toute localisation de l’´energie de par le ph´enom`ene de dispersion. La paire finira donc par se d´elocaliser le long du r´eseau, d´elocalisation qui sera accompagn´ee d’un ´etalement irr´eversible du paquet d’ondes correspondant. En effet chaque mode du paquet va se propager

`

a une vitesse diff´erente donn´ee par : Vk = ∂ω2(k)

∂k = 2Φ sin(k)

pA2+ Φ2k (2.88)

On remarquera une fois encore que l’anharmonicit´e s’oppose `a la dispersion puisque lorsque A augmente, la vitesse de chaque mode tend vers z´ero.

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