CHAPITRE III : RESEAU 2D DE GUIDES A LA LIMITE DE

3. Conception

3.2. Estimation de la constante de couplage k

Pour calculer k, nous avons utilisé le même logiciel. Dans les premiers essais, nous avons modélisé un guide unique pour trouver le profil spatial du mode fondamental. Pour simuler l’existence du guide voisin, nous avons traité les données numériquement et obtenu ce profil spatial par réflexion dans un miroir placé à s/2, s étant la distance entre les guides. Nous avons ensuite calculé numériquement la constante de couplage, en utilisant (II.3). Il s’est avéré que cette méthode n’est pas très bonne, car on obtenait un spectre très large des valeurs, en raison de la forte sensibilité des ailes du mode aux conditions de bord utilisées dans les simulations FEMLAB. En ce qui concerne les constantes de propagations β calculés précédemment, c’est n’est pas important car β caractérise la distribution totale de champ. Par conséquent, les variations dans les ailes sont trop faibles pour jouer un rôle significatif dans l'ensemble. Par contre, k est par définition très sensible à toute modification du champ dans les ailes.

C’est pour cette raison que nous avons utilisé une méthode dans laquelle nous avons employé un système de deux guides identiques, où le mode est plus isolé du bord, donc moins sensible. Nous avons obtenu les supermodes (profils spatiaux et indices effectifs) symétrique et antisymétrique de ce système. Ensuite, nous avons utilisé deux méthodes. Dans la première, nous avons combiné numériquement les deux profils spatiaux pour retrouver le mode fondamental du guide isolé, sachant qu'un supermode du système est toujours une combinaison linéaire des modes propres des guides isolés. Ensuite, conformément à (II.3), nous avons calculé numériquement l’intégrale de recouvrement de ce mode avec celui obtenu par réflexion dans un miroir placé à s/2, en supposant que l’approximation du régime de faible couplage est valable. Cette méthode est bien plus robuste, car les supermodes sont mieux confinés, donc moins sensibles aux conditions de bord, surtout dans la direction qui unit les deux guides. Ceci se reflète dans l'obtention d'un spectre de valeurs en fonction des conditions de bord moins étroit.

La méthode du recouvrement spatial est dans l'esprit de la TMC. Le choix de cette théorie est justifié par les expériences sur la fibre à deux cœurs et par les références bibliographiques, mais nous avons également la possibilité de calculer la constante de couplage, à partir d'une autre formule, qui est dans l'esprit d'une théorie plus générale, à savoir

119 la théorie des modes normaux. Cette théorie utilise les supermodes du système unique formé par les guides. C’est une théorie exacte dont le domaine n’est pas limité, ni en ce qui concerne la séparation entre guides, ni en ce qui concerne le contraste d’indice entre le cœur et la gaine. Pour un système de deux guides monomodes A et B, il existe un supermode symétrique et un supermode antisymétrique, de constantes de propagation βS=2πnS0 et βA=2πnA0 où nS et nA

sont les indices effectifs des supermodes. Quel que soit le guide d’injection, à l’entrée du système on excite simultanément les deux supermodes qui vont interférer au cours de la propagation. Ainsi, les maximums seront localisés alternativement dans un guide ou dans l’autre. La période de battement, déjà défini dans la chapitre II, est :

A S

π L =

β - β (III.7)

Par conséquent, dans la deuxième méthode nous avons employé directement l’équation (III.7), en utilisant les constantes de propagations βA et βS obtenus auparavant. Les deux algorithmes, après l'obtention des modes symétrique et antisymétrique, sont schématisés dans la Figure III.3.

Figure III.3 Algorithmes pour obtenir la constante de couplage à partir des cartes des champs et des indices effectifs des modes symétrique et antisymétrique d'un système de guides

trifoliés identiques

Les résultats peuvent donner seulement une indication, une estimation. Il reste une influence assez notable des conditions de bords (les couches absorbantes) sur les cartes de modes, comme on peut le constater dans la Figure III.3, bien qu'elle soit bien moindre que pour les cartes d'un guide unique. Les deux méthodes donnent la même tendance, mais les valeurs diffèrent par un facteur 3. On ne peut pas dire la raison précise, peut-être le fait que la théorie TMC atteint sa limite de théorie de faible couplage où les guides sont idéalement très distants les uns des autres. Autrement dit, après l'obtention du mode du guide isolé à partir de

120 la superposition des modes symétrique et antisymétrique, c'est la simulation du deuxième mode optique, en miroir par rapport au premier, qui peut introduire une erreur, sachant que la TMC suppose que la présence du deuxième guide à côté, ne perturbe pas la distribution dans le premier guide. En plus l'intégration numérique dépend des limites du cadre d'intégration et de la précision sur la distance entre les centres des modes. En ce qui concerne la deuxième méthode, elle a l'avantage que l'on utilise moins de pas intermédiaires, plus ou moins approximatifs. Par conséquent, nous avons la tendance de nous fier plus à cette deuxième méthode.

Nous présentons les résultats de la conception dans la Figure III.4. Il s'agit de la longueur de couplage (calculée avec la deuxième méthode) en fonction du rapport d/Λ pour les réseaux graphite, hexagonal proche et hexagonal loin. On veut aller vers d/Λ le plus grand

possible pour augmenter Lc, mais on a différents degrés de limitation, imposées par

l'inhomogénéité. Comme on l'a vu, les conséquences des inhomogénéités sur le rayon du canal ou sur le diamètre du trous, sont quasiment les mêmes du point de vu quantitatif sur le ∆β. Par conséquent, on ajoute les limites supérieurs de Lc pour trois niveaux de précision technologiques (1%, 3%, 10%).

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Figure III.4 Longueur de couplage calculée avec la méthode des indices effectifs des supermodes, pour le réseau de type graphite (bleu), hexagonal loin (vert) et hexagonal proche (violet). Les cercles sont pour la polarisation x, les losanges pour la polarisation y (

l'axe qui réunit les guides). Les courbes pleines correspondent à la longueur de couplage calculée analytiquement à partir de modes gaussiens ayant le même waist. Les lignes pointillées imposent des limites supérieures successives pour différents niveaux de précision

(sur le rayon R ou sur le diamètre d du trou)

On observe des variations rapides de k avec d/Λ pour le réseau graphite, de l’ordre de 2x10-2 à 2x10-3 µm-1 pour une variation d/Λ de 0,8 à 0,9, mais bien moins rapides pour les deux autres réseaux, un facteur 2 seulement. En même temps, on anticipe que le couplage est sensible à la polarisation. C'est pour ceci que nous en avons tenu compte et avons calculé

122 deux jeux de longueurs de couplage. Elles sont représentées dans la Figure III.4 par les cercles et les losanges. Il y a en gros, un facteur 3 entre kx et Ky. Nous avons aussi calculé k de manière analytique, à partir de modes gaussiens ayant des waists équivalents à ceux de nos guides. Ces valeurs sont en accord qualitatif avec les valeurs trouvées numériquement, ce qui est très rassurant d’une part, et nous offre une tendance claire d’autre part. Sur la même figure, nous avons ajouté les limites approximatives, afin que le couplage ne soit pas détruit par les irrégularités potentielles ∆R/R présentes dans la structure, selon que la précision globale est de 1%, 3% ou 10%.

Dans le document Contribution à l'étude de guides à la limite de diffraction couplés : les canaux des fibres microstructurées (Page 125-129)