Cette illustration a pour but de mettre en évidence les non uniformités au voisinage des extrémités libres des éprouvettes (« effets de bord ») lors d’un essai de glissement. L’éprouvette est constituée
du même caoutchouc vulcanisé que précédemment, ses dimensions sont 100 mm × 25 mm × 5 mm. On impose à sa face supérieure un déplacement horizontal de 5 mm et sa face inférieure a tous ses déplacements bloqués. L’équation de mouvement se réduit à divEσσσ = 000 (quasi-statique et pesanteur négligée) et l’équation de la chaleur est ignorée (mouvement infiniment lent quasi-isotherme).
FIGURE9.8 – Cisaillement cinématique d’une éprouvette en caoutchouc
La figure9.8[p.124] montre que le champ des contraintes tangentielles σ13(coupe dans le plan médian y = 0) est uniforme dans l’éprouvette sauf au voisinage des extrémités. Le champ des déplacements est représenté le long de quelques lignes x0 1= constante et on voit clairement les perturbations aux extrémités. La cinématique réelle lors d’un essai de glissement n’est donc pas tout à fait celle qui a été supposée dans la section3.4.3[p.49].
Toutefois, ces perturbations aux bords n’ont que peu d’influence sur l’estimation de la contrainte tangentielle au cœur de l’éprouvette : on constate sur la courbe de droite que les évolutions de σ13au centre de l’éprouvette et celle du rapport FS en fonction du paramètre de cisaillement γ sont pratiquement confondues.
9.7 En bref...
Toutes les illustrations numériques de ce chapitre ont été faites en utilisant le modèle élastique isotrope à trois variables d’état {T, Kv, δ } qui a été construit au chapitre3[p.43]. Elles ont été choisies pour illustrer à la fois les effets thermiques et les effets mécaniques du comportement élastique dans de larges domaines de déformation. L’isothermie supposée dans les derniers exemples n’avait pour but que de simplifier la présentation des résultats.
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Conclusion
Le modèle de comportement élastique est un modèle de comportement pour les solides défor-mables satisfaisant aux trois hypothèses suivantes :
1. La dissipation intrinsèque est nulle : on suppose que dans les évolutions il n’existe aucun processus interne générant de la chaleur (pas de frottement interne). La seule dissipation pouvant s’y produire est la dissipation thermique qui résulte des échanges de chaleur entre particules lorsque le champ de températures n’est pas uniforme.
2. Le tenseur des contraintes de Cauchy est une fonction d’état.
3. Les variables d’état ne contiennent pas de variables d’état mnésiques.
Les deux dernières conditions impliquent que cette définition générale de l’élasticité contient la définition empirique généralement donnée dans les cours classiques d’élasticité : « dans un essai de traction élastiqueisotherme, à chaque déformation correspond une et une seule contrainte ».
Les variables d’état d’un milieu élastique sont la température, un tenseur de déformation objectif complétées par d’éventuelles directions actuelles d’anisotropie. La nullité de la dissipation intrin-sèque conduit à une forme générale de la loi de comportement mécanique σσσ = fffσσσ(T, χχχ2, · · · , χχχn) complètement déterminée lorsque l’on connaît l’une des fonction d’état caractéristique du mi-lieu élastique suivante : l’énergie interne massique, l’énergie libre massique de Helmholtz ou l’entropie massique ; les deux autres fonctions d’état s’en déduisent par la relation de Helmholtz et la définition ψm= em− T sm. En revanche, l’existence de la loi de comportement thermique qqq= fffqqq(T, χχχ2, · · · , χχχn) est due à la non négativité de la dissipation thermique ; un large choix est possible.
La forme générale des lois de comportement élastique peut s’exprimer avec différents tenseurs de déformation (objectifs ou non), sous une forme plus ou moins compliquée suivant le tenseur de déformation utilisé. La validité de ces lois de comportement n’est soumise à aucune restriction sur la grandeur des déformations ni sur le mouvement du milieu continu, à l’exception notable de la traditionnelle loi de Hooke (voir la remarque ci-dessous). On a donné un exemple de construction d’une famille de modèles de comportement élastique en construisant leurs fonctions d’état de manière physiquement raisonnée afin de conduire à des comportements réalistes. N’étant soumises à aucune restriction cinématique, ces lois de comportement sont a fortiori encore valables quand les déformations sont petites.
Pseudo-élasticité de Hooke – L’« élasticité » classiquement présentée dans les cours élémentaires (loi de Hooke avec le tenseur des « petites perturbations » εεε) n’est applicable que sous une restriction sur les déformations (petites déformations) et sur les mouvements envisageables (quasi-translation et très petites rotations). De plus, si ces restrictions sur le mouvement envisageable sont valables pour un observateur, elle ne le sont généralement pas pour un autre. Enfin, la loi de Hooke n’est
pas thermodynamiquement admissible car les fonctions d’état (em, smou ψm) conduisant à cette loi n’existent pas.
Un problème de (thermo-)élasticité complètement défini se ramène à la résolution d’un système de quatre équations différentielles aux dérivées partielles, l’équation de mouvement (vectorielle) et l’équation de la chaleur (scalaire)(1), assorties de conditions aux limites et d’éventuelles conditions initiales pour les problèmes non stationnaires. Les champs inconnus sont les positions actuelles des particules (ou leur champ de déplacement) et le champ des températures. La résolution analytique de ce problème est rarement possible ; pour les problèmes industriels, la résolution numérique est incontournable. La méthode numérique de résolution actuellement (2017) la plus pratiquée est la méthode des éléments finis, dont le principe a été exposé et dont l’application a été illustrée sur quelques problèmes types.
La modélisation du comportement d’un solide déformable réel par un modèle de comportement élastique a souvent une portée limitée : l’expérience montre que les solides réels ne sont élastiques que dans certaines limites, voire ne le sont jamais. Quelques critères de limite élastique ont été proposés. La modélisation de comportements inélastiques fait l’objet d’un autre cours.
(1)La conservation de la masse est automatiquement satisfaite par la substitution ρ =ρ0