Equation quasi-classique

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La description quasi-classique de la dynamique non lin´eaire du r´eseau est ba-s´ee sur la formulation de la m´ecanique quantique en termes d’int´egrales de chemin.

Initialement introduite par R.P. Feynman [17], cette formulation a permis de com-prendre le passage de la m´ecanique quantique vers la m´ecanique classique. La th´eorie des int´egrales de chemins associe une amplitude de probabilit´e au passage d’un point de l’espace-temps `a un autre en suivant une trajectoire particuli`ere. Cette amplitude de probabilit´e est proportionnelle `a exp(iS/~), o`u S est l’action classique associ´ee `a la trajectoire. Pour op´erer le passage `a la limite classique, on utilise la limite ~→0.

Dans ce cas, seul le chemin qui minimise l’action donne une contribution significa-tive si bien que les ´equations dynamiques d´ecrivant ce chemin sont les ´equations de Lagrange.

Dans les r´eseaux mol´eculaires, la formulation diff`ere quelque peu dans le sens o`u la repr´esentation des int´egrales de chemin s’´etablit en utilisant les ´etats coh´erents associ´es aux diff´erents modes. Ainsi, avant d’´etudier les ´equations quasi-classiques, nous allons introduire bri`evement la notion d’´etats coh´erents. Le lecteur int´eress´e trouvera plus de d´etails `a ce propos dans l’excellent ouvrage de J. W. Negele and H. Orland [18]. Pour un r´eseau, un ´etat coh´erent |βi est d´efini comme le produit tensoriel des ´etats coh´erents |βni sur chaque site n :

|βi=|β1i ⊗ |β2i ⊗ · · · ⊗ |βNi (2.40) Les ´etats coh´erents sont par d´efinition ´etats propres de l’op´erateur annihilation bn

avec la valeur propre complexe βn :

bn|βi=βn|βi (2.41)

Exprim´es en termes des op´erateurs cr´eation, les ´etats coh´erents s’´ecrivent :

|βi= exp −X

n

n|2/2

!

exp X

n

βnbn

!

|∅i (2.42)

o`u l’´etat vide|∅icorrespond `a un ´etat o`u aucun quantum n’est pr´esent. Il est d´efini par la relationbn|∅i= 0. En utilisant la d´efinition Eq. (2.42), les ´etats coh´erents sont norm´es, mais ils ne sont pas orthogonaux entre eux. L’Eq. (2.42) montre bien que les

´etats coh´erents sont une superposition coh´erente d’´etats nombres. Par cons´equent, dans ce type d’´etat, le nombre de vibrons dans le syst`eme n’est pas d´efini. En effet, il est bien connu que la projection des ´etats coh´erents sur les ´etats nombres suit une distribution de poisson [18]. De par cette distribution, le nombre moyen de vibrons pr´esents dans le syst`eme est :

v =X

n

n|2 (2.43)

L’´ecart quadratique moyen correspondant est d´efini par :

(∆v)2 =hˆv2i − hˆvi2 =v (2.44) Dans la formulation quasi-classique, les variables βn deviennent des variables dyna-miques d´ependantes du temps et qui suivent une trajectoire particuli`ere. L’action qui gouverne cette dynamique est donn´ee par l’int´egrale sur le temps du Lagrangien du syst`eme le long d’un cheminβ(t) particulier :

S = Z

L({βn(t)},{β˙n(t)}, t)dt (2.45) Le Lagrangian L est une fonction de l’ensemble des variables βn(t) ainsi que leur d´eriv´ee par rapport au temps ˙βn(t). Il s’´ecrit :

L({βn(t)},{β˙n(t)}, t) = i~ 2

X

n

βnn

dt −βn

n dt

− hβ|H|βiˆ (2.46) Le calcul de la valeur moyenne de l’hamiltonien pris dans un ´etat coh´erenthβ|H|βiˆ se fait en utilisant la forme normale de l’hamiltonien, c’est-`a-dire en pla¸cant les op´ e-rateurs cr´eation `a gauche et les op´erateurs annihilation `a droite. On remplace alors les op´erateurs bn et bn par respectivement βn et βn. Les ´equations quasi-classiques sont donn´ees par les ´equations de Lagrange qui minimisent l’action :

d dt

∂L

∂β˙n

− ∂L

∂βn = 0 (2.47)

Dans le cas de l’hamiltonien Eq. (2.35), on obtient l’´equation : id

dtβn(t) = ˆω0βn(t) +X

m

Φnmβm(t)−2A|βn(t)|2βn(t) (2.48)

Cette ´equation, qui est une version discr`ete de l’´equation non lin´eaire de Schr¨odinger (DNLS), d´ecrit l’´evolution d’un ´etat coh´erent en n´egligeant les corr´elations quan-tiques. En optique non lin´eaire, l’´equation non lin´eaire de Schr¨odinger permet de d´ecrire la propagation d’une onde le long d’une fibre optique [19, 20]. Elle apparaˆıt

´

egalement en physique des condensats de Bose-Einstein o`u elle est connue sous le nom d’´equation de Gross-Pitaevskii [21]. On notera que dans la pr´esente formulation, la pr´esence du facteur~dans la d´efinition du Lagrangien ne donne plus tout `a fait la mˆeme signification `a l’approximation du col utilis´ee par Feynman. Par cons´equent on ne parle plus d’approximation classique mais d’approximation quasi-classique.

Le r´esultat obtenu en utilisant l’approximation quasi-classique se d´eduit ´ egale-ment en appliquant une proc´edure de champ moyen. Cette approche a ´et´e d´evelopp´ee par E. Wrightet al.[5] en utilisant une approximation de Hartree. Elle suppose que chaque vibron est en interaction avec le champ moyen cr´e´e par l’ensemble des autres vibrons et n’est valable que lorsque les corr´elations entre quanta sont faibles. Ainsi, le postulat de d´epart consiste `a ´ecrire l’´etat quantique sous la forme :

|Ψ(t)i= 1

√v!vv

N

X

n=1

βn(t)bn

!v

|∅i (2.49)

o`u v est le nombre de vibrons pr´esents dans le syst`eme et o`u βn est la fonction d’onde `a un vibron norm´ee `a v. L’utilisation d’une telle fonction d’essai aboutit `a l’´equation d’´evolution :

id

dtβn(t) = ˆω0βn(t) +

N

X

m=1

Φnmβm(t)−2Av−1

v |βn(t)|2βn(t) (2.50) Le choix de norme pour la fonction βn permet de d´efinir cette derni`ere de fa¸con analogue aux ´etats coh´erents. En effet, on retrouve bien l’Eq. (2.43) et les deux

´

equations d’´evolution sont identiques `a condition de remplacer l’anharmonicit´e A par (v−1)A/v. Toutefois ces deux types de fonctions d’onde n’ont absolument pas la mˆeme signification. Les ´etats coh´erents sont des superpositions d’´etats nombres alors que la fonction de Hartree se restreint `a un nombre de quanta bien d´efini. Pourtant, dans les deux cas, on obtient des ´equations d’´evolution similaires. En fait, plus v augmente, plus la distribution des ´etats nombres devient ´etroite, si bien que lorsque le nombre de quanta est tr`es important, les Eqs. (2.48) et (2.50) sont ´equivalentes.

Par la suite nous nous concentrerons sur l’´equation quasi-classique (2.48).

Dans le cas d’interaction entre sites plus proches voisins, l’´equation non lin´eaire de Schr¨odinger poss`ede des solutions analytiques dans l’approximation du conti-nuum. Cette approximation se fait en utilisant un changement de variables qui est n´ecessaire pour introduire une fonction d’onde ϕ(x, t) dont les variations spatiales sont faibles par rapport `a l’´echelle du pas du r´eseau a :

βn(t) = (−σ(Φ))nexp ikn−(ˆω0−2Φ cos2(k/2))t√

aϕ(x, t) (2.51)

o`u x = na et o`u σ(Φ) d´esigne le signe de Φ d´efini par σ(Φ) = 1 pour Φ > 0 et σ(Φ) =−1 pour Φ<0. Dans la limite du continuum, l’Eq. (2.48) devient :

i∂

∂tϕ(x, t) =−a2|Φ| ∂2

2xϕ(x, t)−2aA|ϕ(x, t)|2ϕ(x, t) (2.52) Le choix du changement de variable (2.51) permet de toujours se ramener `a une

´equation avec un terme de dispersion positif. Lorsque les termes de dispersion et d’anharmonicit´e sont positifs, l’Eq. (2.52) poss`ede comme solution le soliton norm´e

` av :

ϕ(x, t) = 1

√a v 2

s A

|Φ|sech vA

2|Φ|a(x−ct)

exp [i(κx−ωt)] (2.53) avec

κ= c 2a2|Φ|

ω= c2

4a2|Φ| −vA2

|Φ|

(2.54)

Le soliton apparaˆıt comme un paquet d’ondes dont l’enveloppe, en forme de cloche, se propage `a la vitesse c sans se d´eformer. Cependant, le profil du soliton varie au cours du temps compte tenu du fait que la vitesse de phase u = ω/κ dif-f`ere de la vitesse de d´eplacement de l’enveloppe. Ainsi, le soliton, dont une ´etude d´etaill´ee de ces propri´et´es est clairement expos´ee dans l’ouvrage de M. Peyrard et T. Dauxois [22], constitue un objet non lin´eaire permettant le transport coh´erent de l’´energie vibrationnelle. De ce fait, il est `a la base de la th´eorie de Davydov d´edi´ee au transfert ´energ´etique dans les bio-polym`eres et autres syst`emes mol´eculaires [23]. Ce-pendant, si lorsqueA |Φ|le soliton devient tr`es ´etendu et se comporte comme une onde plane, une forte localisation de son amplitude apparaˆıt lorsqueA |Φ|. Dans ce cas, on peut se poser la question de la validit´e de l’approximation du continuum pour d´ecrire la dynamique d’un r´eseau.

En effet, en dehors de cette approximation, il n’y a pas de solution analytique

`

a l’Eq. (2.48). La nature discr`ete brise l’int´egrabilit´e due `a une r´eduction des pro-pri´et´es de sym´etrie qui prend son origine dans le passage de la sym´etrie d’invariance par translation du continu vers le discret. Or, une perte de sym´etrie implique g´ e-n´eralement un enrichissement des solutions. Ainsi, au cours des ann´ees 80, l’´etude de la version discr`ete de l’´equation non lin´eaire de Schr¨odinger par J.C. Eilbeck et al. [24, 25] a r´ev´el´e l’existence de solutions particuli`eres appel´ees `a l’´epoque « so-liton discret». De telles solutions apparaissaient alors comme la manifestation du ph´enom`ene d’auto-pi´egeage [26]. Ce n’est que quelques ann´ees plus tard que Sievers et Takeno [27] montr`erent que l’auto-pi´egeage ´etait un cas particulier d’un ph´ eno-m`ene beaucoup plus g´en´eral correspondant `a l’apparition de solutions spatialement localis´ees et p´eriodiques en temps. De telles solutions, appel´ees modes localis´es in-trins`eques ou «breathers discrets», sont des objets qui ont ´et´e fortement ´etudi´es

ces derni`eres ann´ees [28, 29, 30]. Issus de l’interd´ependance entre le non lin´eaire et la nature discr`ete du r´eseau, ils poss`edent la propri´et´e surprenante de cr´eer de la localisation dans des syst`emes invariants par translation. Leur existence et leur stabilit´e ne n´ecessitent pas la propri´et´e d’int´egrabilit´e et bien que g´en´eralement at-tach´es `a un site du r´eseau, les «breathers» peuvent devenir mobiles dans certains cas [25, 31, 32].

Ainsi les ´equations classiques donnent naissance `a des solutions qui permettent de stocker de l’´energie et ´eventuellement d’en transporter. Mais ces solutions ne peuvent ´emerger que lorsque le nombre de vibrons est important si bien que les corr´elations quantiques deviennent n´egligeables. A cause de la perte de la coh´erence quantique, les breathers et les solitons sont des objets qui brisent explicitement la sym´etrie d’invariance par translation. Cet argument montre donc la limite de ces objets, en particulier lorsque les corr´elations quantiques ne sont plus n´egligeables.

D’un point de vue pratique il est assez difficile de r´ealiser une ´etude des ´etats quasi-classiques car beaucoup d’exp´eriences, en particulier celles bas´ees sur l’optique, entraˆınent la cr´eation d’´etats `a faible nombre de vibrons. On peut alors se demander quelle est la nature de la dynamique d’un syst`eme comportant un nombre r´eduit de quanta lorsque les approximations quasi-classique et de Hartree ne sont plus valables. Pour r´epondre `a cette question, une autre approche a alors ´et´e d´evelopp´ee, la m´ethode des ´etats nombres [6], que nous allons pr´esenter dans la suite de cet expos´e.

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