Effets quantiques dans les composants MOS fortement sub-microniques

Contexte

Les plans de développements industriels prévus pour les transistors MOS dits « hautes performances » indiquent font référence à des dimensions de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres.

1990 2000 2010 2020

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

7nm 15nm

32nm 65nm 0.15µm 0.3µm

22nm 32nm 45nm 65nm 90nm 0.5µm

Noeud Technologique L_G (High. Pef.)

Année

Dimensions [nm]

T

_ox

0.15µm

0 1 2 3 4 5

T

ox

[nm]

En 2006, certains fabricants ont déjà mis en production le nœud technologique 65nm, ce qui correspond à des dispositifs possédant une longueur de grille (LG) inférieure à 40nm et une épaisseur d’oxyde de grille (Tox) proche de 1nm. Pour ces dimensions, et en prévision des nœuds futurs, un traitement quantique des dispositifs devient nécessaire pour prédire le fonctionnement de ces composants (courant tunnel à travers l’oxyde de grille, confinement des porteurs à l’interface Si-SiO2, transport balistique…).

Dualité onde-corpuscule

L’un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique est que l’on peut associer une longueur d’onde à toute particule matérielle. Cette longueur d’onde est donnée par les relations de De Broglie.

k p

h π

λ = = ² avec p=hk(impulsion) ou encore

mE h

= 2

λ avec

m E p

2

= 2

=_hω Fonction d’onde – 1^er grand principe

Les caractères ondulatoire et corpusculaire des particules sont indissociables (cf expériences des fentes de Young). A toute particule, on associe donc une fonction d’onde notée ψ(rr,t)qui va décrire l’état de la particule à l’instant t. On peut interprèter ψ comme une amplitude de probabilité de présence en rr et à l’instant t (on renonce donc à la notion déterministe de trajectoire).

r

0 x

y z

dV=d³r

M

dP : Probabilité élémentaire de trouver la particule à l’instant t dans le volume dV =d³rautour de la position rr : dP(r,t)=ψ(r,t)²d³r

Condition de normalisation : on doit retrouver la particule dans l’espace, doù :

1 )

, (

, =

∫

^{2 3} =

∫

^{dP(r t) r t d r}

esapce espace

ψ

Rq : mathématiquement, signifie queψ doit être de carré sommable.

Quantification et états propres

Soit A une grandeur associée à un système microscopique (ex : quantité de mouvement, énergie, moment cinétique,…). Dans la plupart des systèmes quantiques A sera quantifié, cela signifie que le résultat d’une mesure sur A ne pourra appartenir qu’à un ensemble discret de valeurs {ai} (ex : spectre d’absorption des atomes).

On dit alors que les {ai} sont les valeurs propres associées à A. Si on note (r,t)

ai

ψ r les états de la particule donnant ai pour valeur de A, alors les

ai

ψ sont appelés les états propres de A.

27 Principe de décomposition spectrale

Soit un système microscopique et une grandeur physique associée, A, possédant les valeurs propres {ai} et les

ai

ψ pour états propres. A un instant quelconque, la particule se trouve nécessairement dans l’un des états

ai

ψ avec une probabilité Pai. On décrit alors l’état d’une particule comme une combinaison linéaire des états

ai

Equation de Schrödinger (E.S.)– 2^me grand principe

Soit une particule de masse m, qui subit l’action d’un potentiel (ici au sens « énergie potentielle ») quelconqueV(rr,t). L’évolution temporelle de la fonction d’onde est régie par l’équation de Schrödinger :

)

Cette équation est un postulat fondamental de la mécanique quantique à admettre, elle ne se démontre pas.

Elle se justifie car elle donne des résultats en parfait accord avec l’expérience.

Principe d’incertitude de Heisenberg – 3^me grand principe

Contrairement à la mécanique classique, il existe une limite intrinsèque à la précision des mesures au-delà de laquelle on ne peut aller. Ces limites sont exprimées par les relations d’incertitudes de Heisenberg :

Position – impulsion ∆x⋅∆p_x ≥h Energie – temps ∆E⋅∆t≥_h Particule dans un potentiel indépendant du temps

Si )V(rr,t =V(rr) alors on peut montrer que les solutions sont de la formeψ(r,t)=ϕ(r)⋅χ(t). On pose solutions propagatives

( )

ikx B

(

ikx

)

E>V : solutions non

propagatives

( )

x B

(

x

)

Franchissement d’une barrière de potentiel (transparence) Barrière rectangulaire

e x

Barrière quelconque

x

Approximation Wentzel Kramers Brillouin (WKB): on néglige BI

et BII

Electronique

valeur moyenne

<f(t)> = F^o= 1T f(t) dt

valeur efficace (RMS)

F^RMS= F = 1

puissance DC puissance ac puissance complexe puissance P = U.I

puissance moyenne P=U.I.cosφ puissance apparente U.I = URMS.IRMS

facteur de puissance cosφ

puissance complexe P = ½ U.I*

puissance active Re(P) = U.I.cosφ puissance réactive Im(P) = U.I.sinφ masse source

DC

source V source I

R :

U=R .I L :

u=LdI/dt C : i=C.dv/dt

chassis GND

terre commun R jLω 1/ jCω

Thévenin Norton Millman Kennely Miller

Vo

symbole

modèle

en direct _Vγ

Rd Vγ

Rd symbole modèle en

inverse RiRi modèle à faible courant I^d= I^s[exp( ) –1]V^d symbole

modèle

en direct _Vγ

Rd Vγ

Rd symbole modèle en inverse

Vz Rz Vz

Rz constantes

VT = kT/e = 26 mVà 300K

Transistor Bipolaire NPN

Symbole équations I^E = I^C + I^B

modèle ac BF petits signaux

B

Transistor bipolaire Transistor à jonction : jFET N

équation du transistor I^E = I^S.exp( )V^BE

équation du transistor I^D= I^DSS.[1- VGS]²

VGSoff

I^D= I^DSS.[1- VGS]² VGSoff

VGS

VGSoff

Transistor MOS à canal enrichi : E-MOSFET Transistor MOS à canal implanté : D-MOSFET canal

N

canal P

équation du transistor ID= K.[VGS-VTh]²

Canal N canal P équation du transistor ID= IDSS.[1- VGS]²

VGSoff

ID= IDSS.[1- VGS]² VGSoff

VGS

VGSoff

Amplificateur opérationnel : bouclage sur l’entrée inverseuse : amplificateurs inverseur

Av=-R1/R2

non-inverseur Av=1+(R1/R2)

soustracteur

R

intégrateur

vi

dérivateur

vi

Pas de bouclage : comparateurs à un seuil bouclage sur l’entrée non-inverseuse : comparateurs à deux seuils (Trigger de Schmitt)

non-inverseur

vi

+

vi

-+

-inverseur

non-inverseur

vi

inverseur

R1

29 émetteur commun :

Re

droite statique droite dynam

ique point de repos

Rc.IcQ

droite statique droite dynam

ique point de repos

Rc.IcQ

charge répartie :

Re

charge répartie :

Re point de repos

(RC+RE).IcQ point de repos

(RC+RE).IcQ

collecteur commun:

Re point de repos

RE.IcQ point de repos

RE.IcQ

Filtres

x = j.ω ωο

x = j.ω ωωο

ωο

passe bas passe haut passe tout passe bande coupe bande

1^er ordre _{H(ω) = Ho.} 1

parallèle PB1 // PH1

parallèle PB1 // PH1

pas de circuits passifs

circuits résonnant

L C

structures de Sallen & Key

H = (1+ ) Y1.Y2

Hyperfréquences

Equation des télégraphistes.

2 2

Constante de propagation.

(R jL )(G jC ) j

γ = + ω + ω = +α β α affaiblissement linéique en Np/m β déphasage linéique rad/m

1 Neper (Np) = 8.68 dB Résolution de l’équation des télégraphistes.

2

Impédance en un point z de la ligne

0

+ impédance caractéristique Z₀ impédance d’entrée en z=0

Vitesse et temps de propagation v_ϕ ω Coefficient de réflexion

( ) 2

Vi tension incidente, Vr tension réfléchie

1

ZR impédance du récepteur, zR impédance réduite Régime d’ondes

R 0 ZR Zc

Γ = ⇒ = => pas d’ondes réfléchies régime d’ondes progressives

1 0

R ZR

Γ = ⇒ = => réflexion totale Ligne en CC, régime d’ondes stationnaires

R 1 ZR

Γ = ⇒ = ∞ => réflexion totale Ligne en CO, régime d’ondes stationnaires

31 Abaque de Smith : Paramètres et matrice [S] :

Re Im

O 1

r = 0 r = 1

Lieu des coefficients de réflexion correspondant à une impédance de partie réelle r constante : Cercles de rayon ⎟

Lieu des coefficients de réflexion correspondant à une impédance de réactance x constante : Cercles de rayon ⎟

Abaque de Smith : Relation entre paramètres S, le courant I et la tension V : )

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