Définition formelle

Après une présentation du modèle de squelette utilisé dans le modèle de description des signes, nous complétons la section en introduisant les notions de « sites corporels » et de « points liés », dont nous nous servirons par la suite.

4.2.1.1 Modélisation

Un squelette est un ensemble de segments (ou os) attachés les uns aux autres permettant, par un jeu d’articulations, l’animation de l’être ou de l’objet qu’il incarne. Chaque segment peut s’articuler avec un autre auquel il est attaché, c’est-à-dire changer l’angle formé par les deux segments et/ou la torsion de l’un par rapport à l’autre, dans la limite éventuelle des contraintes articulatoires locales à ce point. Par exemple, dans le squelette humain, le bras s’articule avec la clavicule. La figure 4.5 représente une telle structure, inspirée de la partie supérieure d’un squelette humain.

On modélise cette structure par un graphe dont les sommets représentent les segments et une arête entre deux segments signifie l’articulation possible entre ces segments [Ménardais 03]. Le graphe est :

– connexe : on considère tous les segments reliés entre eux pour ne former qu’une seule struc-ture ;

– sans cycle : on considère que deux segments articulés avec un troisième ne sont reliés entre eux que par celui-ci.

Il s’agit donc d’un arbre, dont on peut choisir une racine, notée root. On définit la fonction de parenté directe sur l’ensemble S des sommets du graphe :

articulations

segment

segment

Fig. 4.5 – Visualisation de la structure d’un squelette

Définition Le parent d’un segment b 6= root est le segment voisin noté parent(b) dont la distance à root (en nombre d’arêtes) est la plus courte.

Remarque Le segment root n’a pas de parent, et tout autre segment a un unique parent.

On représente chaque segment par un repère orthonormé dans l’espace dont :

– l’origine coïncide avec le point fixe de l’articulation du segment avec son parent ; – l’orientation reste fixe par rapport au segment.

On abstrait donc le squelette en ne s’intéressant plus désormais qu’aux positions et orientations relatives des différents repères, chacun représentant la position et l’orientation d’un segment dans l’espace réel. La figure 4.6 illustre cette modélisation. Assimilant le repère d’un segment au segment lui-même, on parlera désormais indifféremment d’un segment et du repère qui lui correspond.

s1

s2

s1

s2

Fig. 4.6 – Segments et repères

– l’origine par des coordonnées dans le repère du segment parent, c’est-à-dire, dans parent(b), la translation t_b à appliquer à l’origine pour obtenir celle de b ;

– l’orientation par la rotation r_b à appliquer au repère parent pour que les deux repères b et rb(parent(b)) aient la même base vectorielle1.

Enfin, on munit l’espace d’un repère orthonormé que l’on considère comme repère parent de root pour définir troot et rroot comme ci-dessus.

Ainsi, la donnée d’une arborescence de segments et, pour chacun, d’une translation et d’une rotation exprimées toutes deux dans le repère du segment parent définit un squelette complet, à la fois sa structure et sa posture en termes d’articulations.

Pour l’animation d’un squelette, on remarque que seules les valeurs de rotation ci-dessus sont amenées à changer — et éventuellement troot(déplacement). En effet, à moins de permettre une homothétie globale du squelette (croissance) ou des variations dans les translations données (écar-tèlement), l’origine de chaque segment ne varie pas dans le repère de son parent. C’est d’ailleurs un des intérêts de rapporter les données d’un segment au repère parent et non à celui de l’espace. Dans le repère de l’espace, la position des segments animés est bien entendu amenée à changer constamment. La position globale T (b), donnée par le vecteur à l’origine dans le repère de l’espace, d’un segment b est donnée par la formule récursive :

     T (root) = troot

∀b ∈ S, b 6= root : T (b) = T (parent(b)) ◦ r_parent(b)◦ tb

En extension, pour le segment bn, cette formule devient :

troot◦ rroot◦ tb₁◦ . . . ◦ rb_n−2◦ tb_n−1◦ rb_n−1◦ tb_n

où pour tout i, bi est le parent de bi+1 et root le parent de b1. On compose alternativement une translation avec une rotation, ces transformations étant appliquées à des vecteurs. Le vecteur résultat donne la position de l’origine de b_n dans l’espace.

Ainsi, à part éventuellement troot, les valeurs ti pour i ∈ S sont fixes et la donnée des ri fixe l’articulation de tous les segments du squelette.

Définition On appelle posture articulatoire l’association à chaque segment d’une valeur de ro-tation autour de son origine, exprimée dans la base du repère de son parent. Une posture articulatoire s’exprime sous la forme d’un ensemble {(b, r_b), b ∈ S}.

De même que pour la fonction T définie plus haut sur S, on obtient, en composant seulement les rotations successives autour des origines, l’orientation globale R(b) d’un segment b exprimée dans le repère de l’espace :      R(root) = rroot ∀b ∈ S, b 6= root : R(b) = R(parent(b)) ◦ rb

Récursivement, on élargit aussi la relation de parenté par la relation de contrôle définie ci-après.

Définition Soient b1 et b2 des segments de S. On a b1 C b2 si et seulement si b1 = b2 ou b1C parent(b2). On dit alors que « b1 contrôle b2».

Intuitivement, on comprend que si un segment en contrôle un autre, on a que tout changement d’orientation du premier implique un changement d’orientation globale du second. Typiquement, sur le bras à trois segments de la figure 4.7 dont la racine est s1, changer la valeur de r_s2 (l’orien-tation locale de s2 ) ne fera pas changer l’orien(l’orien-tation globale (dans le repère de l’espace) de s1 (i.e. la valeur R(s1)), mais fera bien changer celle de s3. Le segment s2 contrôle s3, mais pas s1. La

s1

s2

s1

s2

s2

s3

Fig. 4.7 – Squelette en forme de chaîne à trois segments

relation de contrôle est un ordre total sur S.

Remarque Le segment root contrôle tous les segments du squelette.

Nous terminons cette section en signalant qu’éventuellement, un certain nombre de contraintes peuvent être placées sur les degrés de liberté du squelette² pour refléter des contraintes morpho-logiques. Par exemple, le coude se bloquant dans l’alignement de la partie supérieure du bras, on peut envisager une limitation de ce degré de liberté à un intervalle d’amplitude π.

4.2.1.2 Objets liés

Jusqu’ici, le squelette a été présenté comme un ensemble de repères géométriques sans matière s’apparentant au mieux à un ensemble complexe de bras articulés comme en robotique. Mais bien entendu, l’objet à animer ne se réduit pas à une telle ossature virtuelle. Il convient en fait d’imaginer celle-ci incarnée dans la peau de l’entité à animer, autrement dit habillée d’une couche plus ou moins épaisse représentant le corps du personnage modélisé ou sa carcasse si c’est un objet. S’il s’agit bien du squelette que nous animerons, l’utilisateur final d’un programme de visualisation voudra voir apparaître cette peau³et non les segments du squelette utilisés pour l’animer. En figure 4.8, nous illustrons un squelette d’humanoïde vierge, recouvert de la surface de sa peau, texturée pour donner l’illusion d’une personne.

Fig. 4.8 – Construction de la peau d’un squelette humanoïde

Remarquons alors que les points de la surface de l’objet, visibles au final et accessibles au contact — comme les sites corporels de la section 4.1.1 pour un humanoïde — ne se retrouvent pas à partir des simples données du squelette. Pour désigner le milieu de la paume de la main, il faut une donnée supplémentaire qui dépend de l’épaisseur de la peau donnée au squelette autour de la main. De même, les points possibles de contact avec le visage dépendent de son contour, qui n’est pas déductible du simple segment représentant la tête. Notons que ces points sont tous rattachés à un segment, en cela qu’il existe un unique segment dans le repère duquel le point considéré ne change pas de position quelle que soit la posture articulatoire du squelette⁴. On dit que ce point est lié au segment en question. Par exemple, le site corporel que désigne le milieu de la paume d’un humanoïde est lié à l’os de la main.

On généralise cette notion de lien avec les segments à tout objet géométrique fixe dans un repère donné :

3Nous appelons « peau » tout ce qui recouvre le squelette et qui en suit les articulations pour finalement être vi-sualisé. Elle désigne en réalité la surface de l’objet tridimensionnel animé, par exemple un humanoïde et généralement dans ce cas couvert d’une texture représentant des vêtements et de la peau aux mains et au visage.

Définition Un objet géométrique (point, vecteur, etc.) est dit lié au segment b si, exprimé dans le repère de b, il reste fixe dans ce repère quelle que soit la posture articulatoire du squelette.