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Généralités sur le matériau bois et fissuration viscoélastique

1.6 Mécanique de la rupture

1.6.3 Critères de propagation en élasticité linéaire

Cette partie est essentiellement axée sur les configurations en Mode I et II. Elle nous permettra de mettre en évidence les conditions pour lesquelles il y a initiation et propagation d’une fissure. Il ne s’agira pas de faire une étude exhaustive de l’ensemble des formalismes mathématiques permettant de décrire l’initiation et la propagation d’une fissure mais de présenter les principales approches permettant de mieux appréhender une fissure.

Approche énergétique

L’approche énergétique est la plus utilisée, en mécanique de la rupture, elle se base sur les deux hypothèses de Grifith, prenant en compte le taux de restitution d’énergie critique qui stipulent que :

• A chaque avancée de la fissure est associée une énergie de surface qui est proportionnelle à l’aire créée ;

• Le critère de propagation d’énergie est basé sur un bilan d’énergie : La fissure se propage si l’énergie restituée par le milieu lors d’un accroissement virtuel infinitésimal de la fissure compense l’énergie d’une surface que nécessiterait sa création. Cette énergie, est appelée énergie critique et est noté GC. Si cette restitution d’énergie n’est pas suffisante, la fissure ne se propage pas.

On a alors la relation suivante :

G= ∂U

∂a ≤ GC (1.36)

Le taux de restitution d’énergie G est appelé énergie de Grifith, il se définit comme étant la diminution d’énergie par unité de surface fissurée, associée à la propagation d’une fissure dans un matériau linéaire élastique(Eq. 1.36). Cette equation est valable dans un cadre bi-dimensionnel, où a désigne la longueur de fissure et U l’énergie potentielle de la structure [45].

— Démonstration

Soit un matériau sur lequel il y a une initiation de fissure de longueur a (Fig. 1.17). Une extension ∆a de cette fissure s’accompagne des variations d’énergies suivantes :

∆Wext= ∆Wél+ ∆U (1.37)

Où :

• ∆Wext désigne la variation d’énergie appliquée, due aux forces extérieures. • ∆Wél désigne la variation d’énergie élastique (emmagasinée).

• ∆U désigne l’énergie dépensée lors de la propagation de la fissure sur la longueur ∆a. D’après la théorie de Grifith, s’appliquant à la rupture fragile, la grandeur ∆U correspond à l’énergie nécessaire pour que de nouvelles surfaces se créent dans le matériau [8]. On a alors : ∆U = ∆Wsép où ∆Wsép est l’énergie de séparation des surfaces.

Grifith introduit à partir de ∆U une énergie de propagation de la fissure par unité de surface notée G définie par :

G= lim ∆A→0 ∆U ∆A = ∂U ∂A (1.38)

Où ∆A = e∆a est la surface fissurée sur une longueur ∆a dans une éprouvette d’épaisseur

e; l’énergie par unité de surface G s’exprime en général en J/m2.

En considérant l’unité d’épaisseur (e = 1), l’énergie de Grifith G rapportée à l’épaisseur unité devient alors :

G= lim ∆a→0 ∆U ∆a = ∂U ∂a (1.39)

Figure 1.17 – Propagation d’une fissure sur une longueur ∆a [8]

Si on prend en compte l’énergie de création de surface γS, sachant G = 2γS, l’énergie de Grifith est alors donnée par G = π(σR)2a/E. L’expression de la contrainte à la rupture σR

peut alors se mettre sous la forme :

σR= α s S a (1.40) Avec α =q 2/π.

Dans le cas d’une propagation à déplacement imposé v, en introduisant la complaisance

C = v/F et en réécrivant la grandeur ∆Wél = − v2

2C2(∂C

∂a)∆a, l’énergie de Grifith G devient :

G= 2Cv22(∂C

∂a) = F22(∂C

∂a)d (1.41)

L’équation (Eq. 1.41) prend en compte l’unité épaisseur (e = 1). Pour un matériau d’épais-seur (e 6= 1), il est nécessaire de modifier cette équation de la manière suivante :

GC = (Fci)2

2e ×(

∂C

Où Fci(i = 1, 2, 3, ...) est la force critique entrainant une variation ∆a de la longueur de fissure a. En générale, l’expression de la complaisance se met sous la forme ∆C = Ui/Fci, avec

Ui l’ouverture de la fissure induite par la force critique Fci. ∆C représente l’augmentation de la complaisance correspondant à l’augmentation de la longueur de la fissure a.

Approche locale

L’approche locale est assimilée, dans certains cas, à une approche indissociable aux mo-dèles d’endommagement. Elle consiste à caractériser les paramètres de la mécanique de la rupture à travers les champs de contraintes et de déplacement locaux au niveau des pointes de fissure [51]. Soit (ω) une pointe de fissure, telle que présentée sur la Fig. 1.18.

Figure 1.18 – Coordonnées polaires en pointe de fissure [9]

Irwin [52] a montré dans un repère de coordonnées polaires (r, θ) que le premier terme du développement donnant le champ de contrainte au voisinage du fond de fissure, pour des matériaux isotropes plans se met sous la forme :

σij = √ Kβ

2 · π · r · fij(θ) (1.43) Où le coefficient Kβ est le facteur d’intensité de contrainte en mode β (mode I ou mode II) et est indépendant du point M [9].

La forme générale du champ de contrainte (Eq. 1.43), au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans un milieu élastique, se met sous la forme :

σij = Kβ

2 · π · r · fij(θ) +X

p=0

Les grandeurs fij et hij sont des fonctions sans dimension et dépendantes du mode de sollicitation.

Pour r → 0, les champs de contrainte présentent une singularité en 1/rau voisinage de la pointe de fissure [51]. Dans l’équation (Eq. 1.44) les termes d’ordres très élevés tendent vers 0 et peuvent être négligés. Ainsi, au voisinage de la zone critique, à l’extrémité de la fissure et selon le mode de sollicitation (β), les contraintes et les déplacements sont de la forme suivante : σij = 2πr · fijβ(θ) ui = q r · fiβ(θ) (1.45)

Les Kβ évaluent la force de la singularité des contraintes pour des sollicitations en mode (I ou II). Selon Irwin [52], il existe un seuil critique KβC, appelé ténacité, intrinsèque à chaque matériau. Dans le cas des modes purs I ou II, on définit un seuil critique unique KβC tel que :

si

Kβ < KβC, pas de propagation de la fissure

Kβ = KβC, il y a propagation de la fissure (1.46) La prise en compte des paramètres de fissuration dans ce travail, se limitera essentielle-ment à l’initiation et à la propagation de la fissure sur la durabilité en structure d’une poutre de bois.

1.7 Effets du couplage thermo-hydro-mécanique et de