c2
d2U
dt2 −∆U =F, (1.3.1)
aveccqui est la vitesse de propagation de l’onde (vitesse de phase), l’inconnue U(x, t) qui est l’amplitude de l’onde etF est une source qui produit des ondes.
Si on suppose qu’on a des ondes avec une seule fréquence (ondes harmoniques) on peut écrire U(x, t) =u(x)e−iωt etF(x, t) =−f(x)e−ωt avec ω la fréquence spécifique, donc on a
−ω2
c2u(x)e−iωt−∆u(x)e−iωt =−f(x)e−iωt. qui après simplifications donne
∆u(x) + ω2
c2u(x) =f(x). (1.3.2)
On a bien un problème de type stationnaire pour la fréquence ω.
On peut obtenir aussi l’équation de Helmholtz à partir des équations de Maxwell (1.2.22) si on suppose ρ = 0 (si ∇ ·E = 0) avec des considérations harmoniques.
Pour voir plus en détail ou pour d’autres formes d’obtenir l’équation de Helmholtz voir [19, 77] .
L’équation de Helmhotz a été utilisée dans diverses domaines, par exemple en pro-blèmes de diffraction voir [6, 3, 5, 4], de diffraction appliquée aux tomographies voir [72], appliqués au photolithographie [81], appliqué à l’acoustique [67, 6], à l’acoustique sous-marine [48, 7] et aussi à la géophysique [36, 65].
La difficulté de résoudre les équations de Helmholtz par diverses méthodes itératives est établie dans [38], depuis là, beaucoup de recherche a été faite. Par exemple pour les techniques de type multigrille on a la méthode "wave-ray", voir [14, 1, 39]. Aussi le preconditionnement avec l’ajout d’une partie imaginaire au∆("Shifted-Laplacian") voir [35, 34, 33, 36, 37, 66, 55] . Les techniques de type sous-structuration on été étu-dies dans [21, 43, 41, 40, 42, 44, 45]. Pour voir les améliorations des méthodes de type Schwarz voir [22, 18, 54, 57, 52, 11]. Pour les techniques intégrales voir [3, 5, 4] et pour des préconditionneurs grossiers voir [82, 20, 8].
Pour voir un comparatif numérique des différents méthodes pour l’équation de Helm-holtz voir [53]. On peut trouver dans la littérature diverses méthodes de discrétisation appliqués à l’équation de Helmholtz, par exemple pour la méthode de Galerkin discon-tinue voir [45, 46, 47]. Pour éléments de bord (BEM) [12, 10, 13], entre autres.
1.4 Contribution de la thèse
Dans cette thèse on considère des algorithmes de Schwarz sans recouvrement appli-qués aux problèmes harmoniques hétérogènes. On fait l’étude pour une décomposition en deux domaines où chaque domaine a ses coefficients constants, c’est-à-dire qu’on considère un problème avec deux éléments distincts où on fait correspondre l’interface physique entre les éléments avec l’interface entre sous-domaines. On verra que si on prend en compte correctement la discontinuité des coefficients des sous-domaines on
peut obtenir des facteurs de convergence indépendants du pas de maillage h de la dis-crétisation, chose qui n’est pas possible pour les cas de coefficients continus et sans recouvrement.
Dans le chapitre 2 on considère d’abord un algorithme de Schwarz classique pour les équations de Maxwell en deux dimensions (en mode TMz). On montre la convergence de l’algorithme pour des valeurs particulières de coefficients, et la divergence dans plu-sieurs cas. On finit le cas classique avec un résultat asymptotique. Afin de remédier aux problèmes de convergence de l’algorithme de Schwarz classique on met en place des algorithmes de Schwarz optimisés en approchant les conditions de transmission transparentes. On classifie les algorithmes de Schwarz optimisés par les valeurs des coefficients et on donne les paramètres optimaux dans les différents cas. Pour plusieurs d’entre eux on retrouve un facteur de convergence indépendant de la taille du pas de maillage h. On fait des analyses asymptotiques pour montrer des théorèmes d’optimi-sation. On illustre enfin nos résultats théoriques par des exemples numériques.
Dans le chapitre 3 on considère deux algorithmes de Schwarz classiques pour les équa-tions de Maxwell en trois dimensions (formulation de premier et deuxième ordre), et on vérifie l’équivalence entre ces algorithmes. Ensuite, on montre la divergence pour l’algorithme de Schwarz classique. On met en place un algorithme de Schwarz optimisé en considérant des conditions de transmission de second ordre. Pour cet algorithme, on établit en fonction des coefficients le comportement asymptotique du facteur de convergence.
Dans le chapitre 4 on considère un algorithme de Schwarz optimisé pour les équations de Helmholtz en deux dimensions. On démontre que le facteur de convergence de cet al-gorithme est le même que pour les équations de Maxwell vus au deuxième chapitre. On considère pour les équations de Helmhotz plusieurs relations entre la longueur d’onde et la taille du maillage de la discrétisation et les bénéfices qui sont apportés au facteur de convergence optimisé.
Chapitre 2
Algorithme de Schwarz pour les Équations de Maxwell en deux dimensions
2.1 Algorithme de Schwarz Classique
On considère l’algorithme de Schwarz classique sans recouvrement pour les équations de Maxwell dans un milieu hétérogène sans conductivité,
∂t(ε1E1,n)− ∇ ×H1,n = 0, dans Ω1,
∂t(µ1H1,n) +∇ ×E1,n = 0, dans Ω1, Bn1(E1,n,H1,n) = Bn1(E2,n−1,H2,n−1) surΓ,
∂t(ε2E2,n)− ∇ ×H2,n = 0, dans Ω2,
∂t(µ2H2,n) +∇ ×E2,n = 0, dans Ω2, Bn2(E2,n,H2,n) = Bn2(E1,n−1,H1,n−1) surΓ,
(2.1.1)
où εj, j = 1,2 représentent les permittivités électriques, µj, j = 1,2 les perméabilités magnétiques, Ej,n, Hj,nj = 1,2sont les champs électrique et magnétique à l’itération n, Ω1 et Ω2 sont une partition disjoint de l’espace (c’est à dire que Ω1∪Ω2 = R3 et
˚Ω1∩˚Ω2 =∅ ),Γ =∂Ω1∩∂Ω2 et les conditions de transmission sont Bnj(El,n,Hl,n) = 1
ZjEl,n×nj+ (Hl,n×nj)×nj, j = 1,2, l= 1,2, (2.1.2) avec Zj = qµ
j
εj. Pour l’algorithme de Schwarz classique on impose les conditions ca-ractéristiques entrantes.
Les permittivités électriquesεj et les perméabilités magnétiquesµj sont constantes sur chaque domaine Ωj et l’interface entre domaines correspond à l’interface entre deux matériaux (changement du milieu physique).
On a considéré les équations de Maxwell temporelles et nous sommes plutôt intéres-sés par les équations de Maxwell harmoniques. Dans ce cas on suppose que E(x, t) = E(x)eiωt et H(x, t) =H(x)eiωt dans (2.1.1) et après simplification par rapport à eiwt
on obtient
iωε1E1,n− ∇ ×H1,n = 0, dans Ω1, iωµ1H1,n+∇ ×E1,n = 0, dans Ω1,
Bn1(E1,n,H1,n) = Bn1(E2,n−1,H2,n−1) surΓ,
iωε2E2,n− ∇ ×H2,n = 0, dans Ω2, iωµ2H2,n+∇ ×E2,n = 0, dans Ω2,
Bn2(E2,n,H2,n) = Bn2(E1,n−1,H1,n−1) surΓ,
(2.1.3)
où ω est une fréquence spécifique donnée. Les équations (2.1.3) sont connues comme les équations de Maxwell harmoniques.
On peut réécrire les deux premières équations de chaque domaine sous une forme plus explicite, composante par composante
−iωεjExj,n+∂yHzj,n−∂zHyj,n = 0,
−iωεjEyj,n+∂zHxj,n−∂xHzj,n = 0,
−iωεjEzj,n+∂xHyj,n−∂yHxj,n = 0, iωµjHxj,n+∂yEzj,n−∂zEyj,n = 0, iωµjHyj,n+∂zExj,n−∂xEzj,n = 0, iωµjHzj,n+∂xEyj,n−∂yExj,n = 0,
(2.1.4)
avec j=1,2.
Pour travailler en deux dimensions, ce qui est le cadre considéré pour ce chapitre, on se place sur le plan z = 0 et on utilise le fait que le champ électrique et le champ magnétique sont perpendiculaires entre eux. On suppose que le champ magnétique vit sur le plan, donc le champ électrique va être perpendiculaire au plan, c’est-à-dire qu’on pose Ex =Ey =Hz = 0 et on suppose aussi qu’il n’y a aucune dépendance par rapport à la variable z dans Ez, Hx et Hy. On fait l’évaluation en (2.1.4) et on trouve les équations de Maxwell harmoniques en mode transverse magnétique par rapport à la variable z (TMz)
iωε1Ezj,n−∂xHyj,n+∂yHxj,n = 0, iωµ1Hxj,n+∂yEzj,n = 0, iωµ1Hyj,n −∂xEzj,n = 0,
(2.1.5) avec j=1,2.
Avec la simplification (2.1.5) l’algorithme de Schwarz Classique (2.1.3) peut s’écrire en deux dimensions en mode transverse magnétique comme
iωε1Ez1,n−∂xHy1,n+∂yHx1,n = 0 dans Ω1, iωµ1Hx1,n+∂yEz1,n = 0 dans Ω1, iωµ1Hy1,n−∂xEz1,n = 0 dans Ω1,
Bn1(Ez1,n,H1,n) = Bn1(Ez2,n−1,H2,n−1) sur Γ,
iωε2Ez2,n−∂xHy2,n+∂yHx2,n = 0 dans Ω2, iωµ2Hx2,n+∂yEz2,n = 0 dans Ω2, iωµ2Hy2,n−∂xEz2,n = 0 dans Ω2,
Bn2(Ez2,n,H2,n) = Bn2(Ez1,n−1,H1,n−1) sur Γ.
(2.1.6)
Par la suite on considère Ω1 = (−∞,0]×R,Ω2 = [0,∞)×R les deux sous-domaines, Γ = {0} ×R l’interface entre les sous-domaines, n1 = (1,0), n2 = (−1,0) les vecteurs
normales extérieurs à l’interface,H= (Hx, Hy)et les conditions de transmission (2.1.2) reformulées
Bn1(Ezj,n,Hj,n) = Z1
1Ezj,n+Hyj,n, Bn2(Ezj,n,Hj,n) = −Z1
2Ezj,n+Hyj,n. (2.1.7) Pour avoir un problème bien posé pour le cas harmonique il faut rajouter la condition de radiation de Silver-Müller
r→∞lim r(H×er− 1
ZjE) = 0, (2.1.8)
avec r=|x| eter=x/r pour un vecteur xquelconque.
Proposition 2.1.1 Le facteur de convergence de l’algorithme de Schwarz classique (2.1.6) est
|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|=
(λ2−iω2Z−1)(λ1−iω1Z) (λ1+iω1)(λ2+iω2)
1 2
, (2.1.9)
avec ωj =ω√
εjµj et Z =qµ
1ε2
µ2ε1.
Démonstration Pour pouvoir étudier la convergence de l’algorithme (2.1.6), on réa-lisera une analyse de Fourier ; pour ce faire on effectue la transformée de Fourier par rapport à la variable y des équations de Maxwell (2.1.5), où on note k le symbole de Fourier. Pour chaque domaine Ωj on obtient
iωεjEˆzj,n−∂xHˆyj,n−ikHˆxj,n = 0, iωµjHˆxj,n−ikEˆzj,n = 0, iωµjHˆyj,n−∂xEˆzj,n = 0.
La deuxième équation du système précédent implique Eˆzj,n = ωµkjHˆxj,n, qui permet de simplifier le système en un système plus petit
(
∂xHˆyj,n = −iHˆkxj,n(k2−ω2j),
∂xHˆxj,n = ikHˆyj,n, avec ωj =ω√
εjµj. On peut réécrire les équations précédentes en notation matricielle
∂x Hˆxj,n
Hˆyj,n
=
"
0 ik
−i(k2−ωk 2j) 0
#Hˆxj,n Hˆyj,n
.
On calcule les valeurs et les vecteurs propres de la matrice précédente pour pouvoir trouver la solution de l’équation différentielle ordinaire. Les valeurs propres sont
±λj(k) =±q
k2−ωj2, j = 1,2 et les vecteurs propres associés sont
v1 = ik
λj
, v2 = −ik
λj
,
Les solutions sont par conséquent Hˆxj,n
Hˆyj,n
=αnv1eλjx+βnv2e−λjx, avec j = 1,2.
En utilisant la condition de radiation de Silver-Müller (2.1.8) les solutions pour chaque sous-domaine deviennent
Hˆx1,n Hˆy1,n
=αnv1eλ1x, dans Ω1 Hˆx2,n
Hˆy2,n
=βnv2e−λ2x, dans Ω2
On peut réécrire la transformée de Fourier des conditions de transmission (2.1.7) avec la relation Eˆzj,n = ωµkjHˆxj,n comme
( Bn1( ˆEj,n,Hˆj,n) = ωµkZj
1
Hˆxj,n+ ˆHyj,n, Bn2( ˆEj,n,Hˆj,n) = −ωµkZj
2
Hˆxj,n+ ˆHyj,n. (2.1.10) On cherche maintenant le facteur de convergence. Pour cela on considère deux itérations consécutives des équations (2.1.10), c.à.d.
( Bn1( ˆE1,n+1,Hˆ1,n+1) = Bn1( ˆE2,n,Hˆ2,n), Bn2( ˆE2,n,Hˆ2,n) = Bn2( ˆE1,n−1,Hˆ1,n−1), ce qui est équivalent à
ω1
k ikαn+1+λ1αn+1 = −kZω2ikβn+λ2βn,
ω2
kikβn+λ2βn = −Zωk1ikαn−1+λ1αn−1, avec Z := ZZ1
2. Après quelques simplifications on obtient (λ1+iω1)αn+1 = (λ2− iωZ2)βn,
(λ2+iω2)βn = (λ1−iω1Z)αn−1. Le facteur de convergence pour chaque fréquence k est donné par
|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|2 :=
αn+1 αn−1
=
(λ2−iω2Z−1)(λ1−iω1Z) (λ1+iω1)(λ2+iω2)
.
Les valeurs de λ1 et λ2 changent de réelles à imaginaires quand k devient plus grand que ω1 et ω2 respectivement. Ceci donne naturellement une division des gammes des fréquences en trois intervalles. Le premier intervalle est [0, ωmin] où λ1 etλ2 sont tous les deux imaginaires. Le deuxième est [ωmin, ωmax] où λmin est réel et λmax est encore imaginaire et finalement le troisième est [ωmax,∞) où λ1 et λ2 sont tous les deux réels, pour ωmin = min{ω1, ω2}, ωmax = max{ω1, ω2}, λmin = min{λ1, λ2} et λmax = max{λ1, λ2} . On peut voir ces changements dans les figures 2.1.1 et 2.1.2.
Dans la figure 2.1.1 on peut voir à gauche le facteur de convergence classique pour µ constante (µ1 =µ2) et à droite pourε constante (ε1 =ε2). La figure de gauche illustre le résultat de convergence suivant pour le facteur de convergence (2.1.9).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
y
Rho y=1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.5 1 1.5 2
k
y
Rho y=1
Figure2.1.1 – Facteurs de convergence pour l’algorithme de Schwarz Classique, avecω=π, h= 1/16 etkmax=π/h. A gauche on aµ1=µ2=ε1= 1etε2= 9, à droite on aε1=ε2=µ1= 1etµ2= 5.A gauche on a une illustration du théorème 2.1.2 et un exemple de convergence du théorème 2.1.4 avec Y =Z. A droite on a un exemple de divergence dans la zone 5 du théorème 2.1.4 avecY =√
5 = Z1.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
y
Rho y=1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
k
y
Rho y=1
Figure2.1.2 – Facteurs de convergence pour l’algorithme de Schwarz Classique, avecω=π, h= 1/16 et kmax =π/h. A gauche on aε1 =µ1 = 1, ε2 = 3 et µ2= 2, à droite on aε1 =µ1 = 1, ε2 = 2 et µ2= 3.
Théorème 2.1.2 Soit µ1 = µ2. Si q
εmin
εmax > C0, avec la plus grande racine réelle de (1−Z2)(1−Z)2 −4Z2 (C0 ' 0.32), alors l’algorithme de Schwarz classique pour le cas TMz (2.1.6) est convergent.
Démonstration D’abord on remarque que dans ce cas particulier Z = ωω2
1. Ceci implique pour le facteur de convergence (2.1.9) la relation
|ρcla(k, ω1, ω2, ω2/ω1)|2 =
(λ2−iω1)(λ1−iω2) (λ1+iω1)(λ2+iω2)
. (2.1.11)
Pour simplifier un peu la notation du théorème, on noteρ(k)au lieu deρcla(k, ω1, ω2, Z).
À partir du facteur de convergence (2.1.11), on remarque qu’il suffit de considérer le casω1 < ω2 (quitte à échanger les rôles de Ω1 etΩ2).
La démonstration sera fait en 4 étapes. D’abord on considère des valeurs particulières pour k, ces valeurs sont k = 0, ω1, ω2 et on montre que |ρ(k)| de ces valeurs est plus petit que 1. Dans les étapes suivantes on montre que |ρ(k)| <1 pour k ∈ (ω2,∞) (ce sont les hautes fréquences), puis on montre que |ρ(k)| < 1 pour k ∈ (0, ω1) et finale-ment|ρ(k)|<1 pourk ∈(ω1, ω2).
Étape I
Dans cette étape, on montre que ρ(0), ρ(ω1) et ρ(ω2) sont strictement plus petits que 1 sous les conditions d’hypothèse q
ε1
ε2 ∈(C0,1)et µ1 =µ2. 1. (k = 0)
On remplace k= 0 dans (2.1.11)
|ρ(0)|2 = (ω1−ω2)2 4ω1ω2 . En utilisant Z = ωω2
1 on obtient
|ρ(0)|2 = (1−Z)2 4Z , et |ρ(0)| < 1 si Z = q
ε2
ε1 ∈ (3−2√
2,3 + 2√
2), ce qui est équivalent à q
ε1
ε2 ∈ (3−2√
2,3 + 2√
2), mais par hypothèse du théorème on a que qε
1
ε2 ∈ (C0,1) et (C0,1)⊂(3−2√
2,3 + 2√ 2).
2. (k =ω1)
Pour ρ(ω1) on substituek =ω1 dans (2.1.11),
|ρ(ω1)|2 =
ω2p
ω22 −ω12−ω1 ω1p
ω22−ω21+ω2 ,
puis on divise numérateur et dénominateur par ω1 et on remplace Z = ωω2
1, on obtient ainsi
|ρ(ω1)|2 =
Z(√
Z2−1−1) (√
Z2−1 +Z) . On veut que −1 < Z(
√
Z2−1−1) (√
Z2−1+Z) < 1. Donc on doit d’abord considérer l’inégalité
−1< Z(
√
Z2−1−1) (√
Z2−1+Z) qui donne
−√
Z2−1−Z < Z(√
Z2−1−1), qui est équivalent à 0 < √
Z2−1(Z + 1). La dernière inégalité est toujours vrai parce que Z >1 (ω2 > ω1).
On veut aussi que Z(
√
Z2−1−1) (√
Z2−1+Z) <1, ce qui est équivalent à Z(√
Z2 −1−1)<√
Z2−1 +Z.
Après quelques simplifications on obtient
√
Z2−1< 2Z Z−1,
qui donne p(Z)<0, avec p définie par
p(Z) := (Z2−1)(Z−1)2 −4Z2 =Z4−2Z3−4Z2+ 2Z −1. (2.1.12) Le polynômep(Z)n’a que deux racines réelles, pourZ = 3.112...etZ =−1.5815..., voir figure 2.1.3 à gauche et l’inégalité p(Z) < 0 est vérifié pour −1.581545... <
Z <3.112009...= C1
0, la deuxième inégalité implique que 1
Z = rε1
ε2 > 1
3.11200974374936 =C0. En résumé si q
ε1
ε2 ∈(C0,1)on a que |ρ(ω1)|<1.
Figure2.1.3 – A gauche le polynômep(Z)(2.1.12) et à droite le polynômeq(ζ)(2.1.13 )
3. (k =ω2)
Pour ρ(ω2) on remplacek =ω2 dans (2.1.11),
|ρ(ω2)|2 =
ω1(p
ω22−ω12−iω2) ω2(p
ω22−ω12+iω1) ,
et obtient après simplifications,
|ρ(ω2)|4 =
ω21(2ω22−ω21) ω42
, Soit avec Z = ωω2
1,
|ρ(ω2)|4 = 2Z2−1
Z4 = 1−(Z2−1)2 Z4 .
On déduit |ρ(ω2)| <1 pour Z 6= 1, qui est le cas qui nous intéresse. Pour Z = 1 on obtient |ρ(ω2)|= 1 comme dans le cas étudié en détail dans [26].
Étape II
Dans cette étape on montre que |ρ(k)| < 1 pour les hautes fréquences (k ∈ (ω2,∞)).
Afin de faciliter la notation on considère la fonctionR(k) = |ρ(k)|4, R(k) = (λ22+ω21)(λ21 +ω22)
(λ21+ω21)(λ22 +ω22). On utilise la relation λ22 =λ21+ω21 −ω22, ce qui donne
R(k) = (λ21 + 2ω12−ω22)(λ21+ω22) (λ21+ω12)2 ,
puis on calcule la dérivée deR(k)par rapport à λ1 qui est réel parce que k ∈[ω2,∞), dR
dλ1(k) = 4λ1(ω12−ω22)2 (λ21 +ω12)3 . Ceci montre que dλdR
1(k)est toujours positive, car λ1 >0etω1 6=ω2. Des expressions de R(k)et de la figure 2.1.1 à gauche on observe quelimk→+∞R(k) = limλ1→+∞R(k) = 1.
Donc la fonctionR(k)est croissante sur (ω2,∞)avec la limite à l’infini égale à 1, alors R(k)<1∀k ∈(ω2,∞)et donc aussi |ρ(k)|<1∀k∈(ω2,∞).
Étape III
Pour montrer que|ρ(k)|<1pourk ∈(0, ω1) on va réécrire l’équation (2.1.11) avec les substitutions ζ := ωω1
2 =qε
1
ε2 etx= ωk
2. On obtient
|ρcla(k, ω1, ω2, ω2/ω1)|2 :=|ρcla(ζ, x)|2 =
(p
ζ2−x2−1)(√
1−x2−ζ) (p
ζ2−x2+ζ)(√
1−x2+ 1) .
On remarque que x ∈ (0, ζ) et ζ ∈ (C0,1). Il faut vérifier que |ρcla(ζ, x)| < 1, c’est à dire que −1< ρcla(ζ, x)<1.
On va d’abord vérifier l’inégalité (p
ζ2−x2−1)(√
1−x2−ζ) (p
ζ2−x2+ζ)(√
1−x2+ 1) <1.
Comme le dénominateur de l’expression est plus grand que zéro, celle ci équivaut à (p
ζ2−x2−1)(√
1−x2−ζ)<(p
ζ2−x2+ζ)(√
1−x2+ 1), qui après simplification devient
−√
1−x2(1 +ζ)<p
ζ2−x2(1 +ζ).
Comme 0 < x < ζ < 1 et (1 +ζ) > 0 on a −√
1−x2 < 0 < p
ζ2 −x2, ce qui est toujours vérifié.
Il faut maintenant vérifier l’inégalité
−1< (p
ζ2−x2−1)(√
1−x2−ζ) (p
ζ2−x2+ζ)(√
1−x2+ 1).
On multiplie et on obtient
−(p
ζ2−x2+ζ)(√
1−x2+ 1)<(p
ζ2−x2−1)(√
1−x2 −ζ), qu’après simplification donne
pζ2−x2(−2√
1−x2+ζ−1)<√
1−x2ζ+ 2ζ−√
1−x2. L’expression(−2√
1−x2+ζ−1)est négative parce queζ <1. On montre maintenant que l’expression√
1−x2ζ+ 2ζ−√
1−x2 >0pourζ ∈(C0,1). Pour ce faire on montre la contraposé, c’est à dire que si√
1−x2ζ+ 2ζ−√
1−x2 ≤0 alors ζ /∈(C0,1).
L’inégalité √
1−x2ζ+ 2ζ−√
1−x2 ≤0
est équivalente à √
1−x2(ζ−1)≤ −2ζ qui peut s’écrire pour ζ <1 comme
√1−x2 ≥ 2ζ 1−ζ. Mais on sait aussi que √
1−x2 ≥p
1−ζ2 et on vérifie juste que 2ζ
1−ζ ≤p
1−ζ2. Ceci implique l’inégalité
4ζ2 ≤(1−ζ2)(1−ζ)2,
donc on a q(ζ)≥0, avec q le polynôme définie à l’énonce du théorème.
q(ζ) = 1−2ζ−4ζ2+ 2ζ3−ζ4. (2.1.13) Cette inégalité est vérifie pourC1 :=−0.632292... < ζ < C0 (voir figure 2.1.3 à droite), avecC0 etC1 les deux uniques racines réelles du polynômeq(ζ). Donc pourζ ∈(0, C0] en particulier on a que √
1−x2ζ + 2ζ − √
1−x2 ≤ 0 et ζ /∈ (C0,1). Donc par la contra-posé on a que si ζ ∈(C0,1) on a |ρcla(ζ, x)|<1 et|ρ(k)|<1 pourk ∈(0, ω1).
Étape IV
Dans cette étape on vérifie que pour k ∈ (ω1, ω2) on a encore |ρ(k)| <1. Dans cet intervalle, on peut exprimer le facteur de convergence (2.1.11) à l’aide des variables ζ =q
ε1
ε2 et x= ωk
2 comme dans l’étape précédente,
|ρcla(ζ, x)|2 :=
(p
x2−ζ2−i)(√
1−x2−ζ) (p
x2−ζ2+iζ)(√
1−x2+ 1) .
On remarque que dans ce cas, on a x ∈ (ζ,1) et ζ ∈(C0,1). On fait le remplacement γ = √
1−x2 dans l’équation précédente et on remarque aussi que γ ∈ (0,p
1−ζ2).
On obtient
|ρcla(ζ, γ)|2 =
(p
1−γ2−ζ2 −i)(γ−ζ) (p
1−γ2−ζ2+iζ)(γ+ 1) .
On appelle R(ζ, γ) :=|ρcla(ζ, γ)|4, on obtient après l’évaluation du module R(ζ, γ) = (γ−ζ)2(2−γ2−ζ2)
(1 +γ)2(1−γ2) .
On considèreR(ζ, γ)−1 et on regarde si cette expression est négative. On a R(ζ, γ)−1 = (γ−ζ)2(2−γ2−ζ2)−(1 +γ)2(1−γ2)
(1 +γ)2(1−γ2) .
On ne s’intéresse qu’au numérateur de cette expression parce que le dénominateur est positif (γ <1). On peut réécrire le numérateur comme
RN(ζ, γ) := 2γ2−4γζ+ 2ζ2−γ4 + 2γ3ζ−2γ2ζ2+ 2γζ3−ζ4−(1 + 2γ−2γ3−γ4), qu’on peut simplifier comme
RN(ζ, γ) := 2γ3(ζ+ 1) + 2γ2(1−ζ2)−2ζ(1 + 2ζ−ζ3)−(1−2ζ2+ζ4).
Après factorisation on a RN(ζ, γ) = (1 +ζ)
2γ3+ 2γ2(1−ζ)−2γ(1 +ζ−ζ2)−(1−ζ)2(1 +ζ) . On peut encore réécrire l’expression comme
RN(ζ, γ) = (1 +ζ)
2γ(γ2+ζ2−ζ−1) + (1−ζ)(2γ2+ζ2−1) .
On peut majorer l’expression précédente si on majore γ, on a γ2 < 1− ζ2 et par conséquent
RN(ζ, γ)<(1 +ζ)
2γ(1−ζ2+ζ2−ζ−1) + (1−ζ)(2(1−ζ2) +ζ2−1) , qu’après simplification devient
RN(ζ, γ)
(1 +ζ) <−2γζ+ (1−ζ)(1−ζ2).
La partie droite de l’inégalité précédente est négative si γ > (1−ζ)(1−ζ2)
2ζ .
Commeγ =p
1−ζ2 on va juste vérifier
p1−ζ2 > (1−ζ)(1−ζ2)
2ζ ,
qu’on peut exprimer comme
2ζ >(1−ζ)p
1−ζ2, ou encore
4ζ2 >(1−ζ)2(1−ζ2).
Ceci donneq(ζ)<0avec le polynômeq définie en (2.1.13) et l’inégalité est vérifie pour ζ < C1 = −0.632292... ou ζ > C0, donc en particulier pour ζ ∈ (C0,1). On peut voir
l’illustration de cette inégalité dans la figure 2.1.1 à droite.
D’après les quatre étapes précédentes on obtient bien que |ρcla(k, ω1, ω2,ωω2
1)|<1pour tout fréquence k >0 et l’algorithme de Schwarz classique (2.1.6) est ainsi convergent.
Le théorème 2.1.2 garanti la convergence de l’algorithme de Schwarz Classique (2.1.6) pour le cas µ1 = µ2 avec une condition supplémentaire pour ε1 et ε2. Nous allons maintenant voir que l’algorithme de Schwarz Classique (2.1.6) diverge si ε1 = ε2 et µ1 6=µ2. On peut observer cette divergence dans la figure 2.1.1 à droite.
Théorème 2.1.3 Si ε1 =ε2 et µ1 6=µ2, alors l’algorithme de Schwarz classique pour le cas TMz (2.1.6) est divergent.
Démonstration On évalue la fonction |ρcla(k, ω1, ω2, Z)| en k = ω2 et on montre que pour ce point le facteur de convergence (2.1.9) est strictement plus grand que 1.
Encore une fois, afin d’alléger les notations on note pour le théorème ρ(k) au lieu de ρcla(k, ω1, ω2, Z),
|ρ(ω2)|2 =
−iω2/Z(p
ω22−ω12−iω1Z) iω2(p
ω22−ω12+iω1) . Après l’évaluation du module on trouve
|ρ(ω2)|4 = ω22−ω12+ω21Z2 ω22Z2 . On remarque que dans ce cas particulier Z = ωω1
2, ce qui donne
|ρ(ω2)|4 = 1
Z2 −(1−Z2)=1 + (Z2−1)2 Z2 >0.
Donc on a que |ρ(ω2)| > 1, ∀Z 6= 1, qui est conséquence directe des conditions d’hy-pothèse et ainsi l’algorithme de Schwarz Classique (2.1.6) diverge. Dans le cas Z = 1 on a |ρ(ω2)|= 1 et l’algorithme stagne comme dans le cas étudié en [26].
Pour le cas général on a le théorème de divergence suivant. Il est illustré à l’aide de la figure 2.1.4. On donne des exemples du facteur de convergence dans la figure 2.1.2, avec un cas qui converge et un cas qui diverge. On a plusieurs autres exemples dans les figures 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 et 2.1.9.
Théorème 2.1.4 Si µ1 6= µ2, ε1 6= ε2, Z = qµ
1ε2
µ2ε1, Y = ωω2
1 et une des conditions suivantes est satisfaite
a. Z < Y, Y <1.
b. Z >1, Y <1.
c. Z > Y, Y >1.
d. Z <1, Y >1,
alors l’algorithme de Schwarz Classique (2.1.6) est divergent.
Démonstration Pour les hautes fréquences, le facteur de convergence (2.1.9) peut s’écrire comme
R(k, ω1, ω2, Z) :=|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|4 = (λ21 +Z2w12)(λ22+w22/Z2) (λ21+w12)(λ22+w22) ,
1/√ 2 1
1/√
2 1
Z= 1/p
2−1/Y2 1
2
11 9
8
3 4 10
5
6 7
Y Z
Figure 2.1.4 – En rouge il y a les zones de divergence qui sont traités dans le théorème 2.1.4, ainsi que les numéros des zones qui sont utilisés dans le même théorème
on remplace λ22 =λ21+w21 −w22 pour obtenir
R(k, ω1, ω2, Z) = (w21Z2 +λ21)(λ21+w21−w22(1/Z2−1)) (λ21+w12)2 . On divise numérateur et dénominateur par ω24 et on pose η := ωλ212
2 et Y = ωω2
1 dans
l’équation précédente, on obtient via ce remplacement R(k, ω1, ω2, Z) = R(η, Y, Z) avec
R(η, Y, Z) = (η+Z2/Y2)(η+ 1/Y2+ 1/Z2−1)
(η+ 1/Y2)2 . (2.1.14) Il faut remarquer que η ∈ R+ car λ1 > 0. Au lieu d’avoir une fonction à 4 variables, on a maintenant une fonction à 3 variables et la variable qui nous intéresse est η. On calcule dRdη pour voir le comportement de la fonction pour les hautes fréquences, on obtient après dérivation et simplification
dR
dη(η, Y, Z) =−(Z2−1) ((Z2/Y2−1)η+ 1/Y2(Z2/Y2−2Z2+ 1))
Z2(η+ 1/Y2)3 . (2.1.15) On sépare la démonstration en 2 cas :(Z2/Y2−1)(Z2/Y2−2Z2+ 1)<0et(Z2/Y2− 1)(Z2/Y2−2Z2+ 1)>0. Dans le premier cas,(Z2/Y2−1)(Z2/Y2−2Z2+ 1)<0 ga-ranti l’existence d’unη >0tel que dRdη = 0, c’est-à-dire l’existence d’un extremum local avecη >0. Dans ce cas on montre que cet extremum est strictement plus grand que 1.
Dans le deuxième cas on n’a pas d’extremum local, donc on regarde simplement le signe de dRdη. Si dRdη <0, ∀η >0alors R est décroissante et commelimη→∞R(η, Y, Z)) = 1 on aurait R(η, Y, Z)>1, ∀η > 0. Ces situations sont des cas de divergence expliqués par le théorème.
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
k
y
Rho y=1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
k
y
Rho y=1
Figure2.1.5 – Facteur de convergence classique pour ω=π, h= 1/16,kmax =π/h. A gauche on a Y = 2et Z= 3, à droiteY = 4/5 etZ= 8/5. Zones 1 et 2 du théorème (2.1.4)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
y
Rho y=1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
k
y
Rho y=1
Figure2.1.6 – Facteur de convergence classique pour ω=π, h= 1/16,kmax =π/h. A gauche on a Y = 1/2et Z= 1/3, à droiteY = 4/5et Z= 1/4. Zones 3 et 4 du théorème (2.1.4)
Cas I : (Z2/Y2−1)(Z2/Y2−2Z2+ 1)<0
On peut obtenir la position de l’extremum local à l’aide de (2.1.15). On a dRdη(η, Y, Z) = 0 qui a comme solution pour la variable η
η0 = 1/Y2(2Z2−Z2/Y2−1)
Z2/Y2−1 = 2Z2−Z2/Y2 −1 Z2−Y2 . On remplaceη0 en (2.1.14) et après simplification on obtient
R(η0, Y, Z) = (Z2+Y2)2 4Y2Z2 . On considèreR(η0, Y, Z)−1 qui est en fait égal à
R(η0, Y, Z)−1 = (Z2−Y2)2 4Y2Z2 ,
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
k
y
Rho y=1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
y
Rho y=1
Figure2.1.7 – Facteur de convergence classique pour ω=π, h= 1/16,kmax =π/h. A gauche on a Y = 2et Z= 4/5, à droiteY = 1/2 etZ= 3/4. Zones 6 et 8 du théorème (2.1.4)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
k
y
Rho y=1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k
y
Rho y=1
Figure2.1.8 – Facteur de convergence classique pour ω=π, h= 1/16,kmax =π/h. A gauche on a Y = 1/2et Z= 2, à droiteY = 4/5 etZ= 9/10. Zones 9 et 10 du théorème (2.1.4)
qui n’est jamais nul ou négatif si Z 6= Y (µ1 6= µ2). Le cas Z = Y est déjà considéré dans le théorème 1 parce que Z = Y ⇒ µ1 = µ2. Maintenant on va regarder pour quelles valeurs de Y etZ on se place dans ce premier cas.
On a deux possibilités pour être dans ce cas. La première est(Z2/Y2 >1)et(Z2/Y2− 2Z2+ 1)<0 et la deuxième est (Z2/Y2 <1) et(Z2/Y2−2Z2+ 1)>0.
Une analyse des conditions(Z2/Y2 >1)et(Z2/Y2−2Z2+1)<0donne les possibilités suivantes :
1. Z > Y, Y ≥1.
2. Z > √ 1
2−1/Y2, √1
2 ≤Y ≤1.
Une analyse de la condition (Z2/Y2 < 1) et (Z2/Y2 −2Z2 + 1) > 0 donne les trois possibilités suivantes :
3. Z < Y, 0< Y ≤ √1
2. 4. Z < Y, √12 < Y ≤1.
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
k
y
Rho y=1
Figure 2.1.9 – Facteur de convergence classique pour ω = π, h = 1/16, kmax = π/h, Y = 4/5 et Z= 6/5. Zone 11 du théorème (2.1.4)
5. Z < √ 1
2−1/Y2, Y ≥1.
Tous les possibilités qu’on a mentionnées jusqu’à maintenant sont des cas de diver-gence. On va étudier maintenant des possibles cas de convergence et on exclut d’autres cas de divergence.
Cas II : (Z2/Y2−1)(Z2/Y2−2Z2+ 1)>0.
Comme dRdη est une fonction monotone pour ce cas, on regarde simplement le signe de dRdη. Si le signe est positif on a un cas où R pourrait être plus petit que 1, sinon R est plus grand que 1. Encore une fois on a deux cas possibles, (Z2/Y2 < 1) et (Z2/Y2−2Z2+ 1)<0 ou(Z2/Y2 >1)et (Z2/Y2−2Z2+ 1)>0.
Le premier (Z2/Y2 <1)et (Z2/Y2−2Z2+ 1)<0implique la condition suivante Y > Z > 1
p2−1/Y2, Y >1.
Maintenant il faut combiner cette condition avec le signe de Z−1, qui donnent les cas 6. √ 1
2−1/Y2 < Z <1, Y >1. C’est un cas de divergence.
7. 1< Z < Y, Y >1. C’est un possible cas de convergence.
La condition (Z2/Y2 > 1) et (Z2/Y2 − 2Z2 + 1) > 0 donne les deux possibilités suivantes :
Z > Y, Y ≤ √12. Y < Z < √ 1
2−1/Y2, √12 < Y <1.
Finalement une considération du signe de Z−1 double les possibilités qui deviennent 8. Y < Z <1, 0< Y ≤ √1
2. Possible convergence.
9. Z >1, O < Y ≤ √1
2. Divergence.
10. Y < Z <1, √12 < Y <1. Possible convergence.
11. 1< Z < √ 1
2−1/Y2. Divergence.
Pour conclure le théorème il suffit de remarquer que a) de l’énonce du théorème est l’union des conditions 3 et 4, que b) est l’union des contions 2, 9 et 11, que c) est la condition 1 et d) est l’union des conditions 5 et 6.
La figure 2.1 illustre numériquement les zones de convergence qui ne sont pas traités
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Z
Y
Figure2.1.10 – Illustration graphique du facteur de convergence classique avec les variablesY et Z utilisées dans la démonstration du théorème 2.1.4, en rouge les zones de divergence et en vert les zones de convergence.
dans le théorème 2.1.4, on peut voir qu’il faut encore exclure des zones pour les basses fréquences. On a vu dans le théorème 2.1.4 et dans les figures 2.1.1, 2.1.2, 2.1.7 et 2.1.8 que l’algorithme de Schwarz classique (2.1.6) peut converger, cependant le prochain théorème illustre le fait que la convergence se détériore assez vite quand on raffine le maillage h.
Théorème 2.1.5 Si l’algorithme de Schwarz classique (2.1.6) converge et si µ1 6=µ2, alors le facteur de convergence se comporte asymptotiquement comme
k∈[kmaxmin,kmax]|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|= 1− O(h2),
et si µ1 =µ2, alors le facteur de convergence se comporte asymptotiquement comme
k∈[kmaxmin,kmax]|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|= 1− O(h4).
Où kmin est la plus petite fréquence pertinent (dépend de la géométrie du domaine) et kmax = cmaxh .
Démonstration On considère l’asymptote à l’infini car limk→∞ρcla(k, ω1, ω2, Z) = 1.
Quand k tend vers l’infini on est naturellement sur les hautes fréquences. Dans ce cas
on a
|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|4 = λ21+Z2w21 λ21 +w21
Z2λ22+w22 λ22+w22 , on remplace λ21 =k2−ω12 etλ22 =k2−ω22 et on simplifie
|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|4 = (Z2k2−w22Z2+w22)(w21Z2+k2−w21)
k4Z2 .
On développe l’expression et on remplace k = cmaxh
|ρcla(k, ω1, ω2, Z)|4 = 1 + (Z2−1)(w21Z2−w22)
c2maxZ2 h2−w21w22(Z2−1)2
Z2c4max h4. (2.1.16) Si on suppose que l’algorithme de Schwarz classique (2.1.6) converge ça veut dire que
(Z2−1)(w21Z2−w22)
c2maxZ2 <0 etZ 6= 1 (parce que si Z = 1 l’algorithme stagne ce qui est exclu
c2maxZ2 <0 etZ 6= 1 (parce que si Z = 1 l’algorithme stagne ce qui est exclu