Antes de se procurarem soluções para o Problema de Newcomb (daqui em diante PN), soluções que poderão passar pela eleição de um ou outro dos argumentos de Nozick, aduzindo-se razões que favoreçam um deles, poder-se-á questionar o carácter genuinamente paradoxal do problema e a justificação do emprego dos princípios de racionalidade em causa. Poder-se-á, por exemplo, questionar se estão reunidas todas as condições necessárias para a aplicação desses princípios, na justificação de uma ou outra das soluções.
Isaac Levi (1975) argumentou, precisamente, no sentido de mostrar que as condições que especificam o PN não são suficientemente detalhadas para a aplicação do princípio da maximização da utilidade condicional esperada; ou seja, que a aplicação desse princípio seria falaciosa. A posição favorável ao monocaixismo não estaria, portanto, justificada. Considere-se novamente a seguinte matriz:
PC1 PC2 C1 $M $0 C2 $M + $1000 $1000
C1 representa a acção monocaixista, C2 a acção bicaixista, PC1 o estado do mundo em que a previsor prevê C1 e PC2 o estado do mundo em que o previsor prevê C2. A quase- infalibilidade do previsor pode, então, ser representada pela ideia de que a pr((C1˄PC1) ˅ (C2˄PC2)) é bastante elevada. Isto significa que as previsões do previsor e as escolhas dos agentes coincidem na grande maioria dos casos. Segundo Levi, o que Nozick pretende veicular é uma interpretação da ideia de infalibilidade, de acordo com a qual tanto a pr(C1|PC1), como a pr(C2|PC2) são bastante elevadas, do que se segue a também elevada probabilidade da disjunção acima. Estas últimas são as probabilidades de o agente escolher esta ou aquela acção dada a previsão do previsor. A questão essencial para o argumento de Levi é a de que não se devem confundir as probabilidades condicionais acima com estas outras: a pr(PC1|C1) e a pr(PC2|C2), a probabilidade de o previsor prever correctamente uma ou outra acção, dada a escolha do agente. Estas são aquelas
que se utilizam no cálculo da utilidade condicional esperada. Ora, mesmo que as primeiras sejam ambas elevadas, não se segue daí que as segundas também o sejam. Seria, portanto, a confusão entre estes pares de probabilidades que, segundo Levi, resultaria numa aplicação falaciosa do princípio da maximização da utilidade condicional esperada. Para ilustrar o seu ponto, ele apresenta três casos distintos em que a infalibilidade do previsor não estaria em causa, mas em que as recomendações do princípio seriam diferentes (1975: 164). Suponha-se que o PN foi apresentado a três grupos de mais de um milhão de indivíduos e que os resultados foram os seguintes:
Grupo 1. Previsão escolha caixa opaca / Previsão escolha duas caixas
Escolhem caixa opaca – 900 000 Escolhem caixa opaca -10 Escolhem duas caixas - 100 000 Escolhem duas caixas – 90
Grupo 2. Previsão escolha caixa opaca / Previsão escolha duas caixas Escolhem caixa opaca – 495 045 Escolhem caixa opaca - 55 005 Escolhem duas caixas – 55 005 Escolhem duas caixas - 495 045
Grupo 3. Previsão escolha caixa opaca / Previsão escolha duas caixas Escolhem caixa opaca – 90 Escolhem caixa opaca – 100 000 Escolhem duas caixas – 10 Escolhem duas caixas – 900 000
A meu ver, a primeira coisa que devemos procurar fazer, na análise deste quadro de resultados, é determinar onde se devem ler os pares distintos de probabilidades condicionais. A probabilidade de os agentes escolherem uma ou outra acção, dada a previsão do previsor, é lida na vertical. Constata-se, assim, que em todas as colunas, em todos os três casos, estas probabilidades são elevadas: sempre 0.9. Por exemplo, no primeiro caso, de 900.000 em 1.000.000 para pr(C1|PC1), e de 90 em 100 para pr(C2|PC2).
Já a probabilidade de o previsor acertar na sua previsão, dada a escolha de uma ou outra acção, é lida na horizontal. Por exemplo, no caso 1 o previsor é muito bom a prever C1, a pr(PC1|C1) = 900.000/900.010 = 0.99998888, mas bastante fraco a prever C2, a pr(PC2|C2) = 90/100.090 = 0.0008991. No caso 2, o previsor é muito bom tanto a prever C1, como C2, o que faz com que estas probabilidades sejam ambas elevadas. E no caso
3, o previsor é muito bom a prever C2, mas bastante fraco a prever C1. Isto terá obviamente repercussões no cálculo da utilidade nos três casos. Considere-se a utilidade linear com os valores em dinheiro. Nos casos 1 e 3 o cálculo da utilidade condicional esperada favorece a decisão de escolher as duas caixas. E apenas no caso 2, em que a pr(C1) = pr(C2), quando o previsor prevê o monocaixismo e o bicaixismo com a mesma probabilidade, é que C1 é recomendado. Consideremos para efeito de ilustração:
Caso 1:
UCE (C1) = pr(PC1|C1) × u(PC1 & C1) + pr(PC2|C1) × u(PC2 & C1) = = 0,9999888 × 1 000 000 + 0,0000112 × 0 =
= 999 988,8
UCE (C2) = pr(PC1|C2) × u(PC1 & C2) + pr(PC2|C2) × u(PC2 & C2) = = 0,9991009 × 1 001 000 + 0,0008991 × 1000 =
= 1 000 100 + 0,8999 ≅ 1 000 101
Caso 2:
UCE (C1) = pr(PC1|C1) × u(PC1 & C1) + pr(PC2|C1) × u(PC2 & C1) = = 0,9999888 × 1 000 000 + 0,0000112 × 0 =
= 999 988,8
UCE (C2) = pr(PC1|C2) × u(PC1 & C2) + pr(PC2|C2) × u(PC2 & C2) = = 0,0000112 × 1 001 000 + 0,9999888 × 1000 =
= 1012
Segundo Levi, as possibilidades envolvidas nestes três casos tornam injustificada a utilização do princípio da maximização da utilidade esperada numa situação como a do PN, pois sem as estatísticas relevantes, como aquelas que definem os três casos acima, o agente não tem dados suficientes para tomar a sua decisão, mesmo sabendo que o previsor é quase infalível. Ou seja, de modo a aplicar o princípio de forma justificada, e mesmo sabendo que, de acordo com a interpretação lata de infalibilidade - pr((C1˄PC1) ˅ pr(C2˄PC2)) ≅ 1 - o agente tem igualmente de saber qual o valor de cada uma das probabilidades condicionais relevantes, a pr(PC1|C1) e a pr(PC2|C2). Uma outra maneira
de colocar a questão é afirmar que não sabemos de que caso é o PN uma variante: do caso 1, 2 ou 3.
Admitindo que no PN as probabilidades condicionais relevantes são indeterminadas, e que, mesmo assim, estamos perante um problema de decisão que merece ser levado a sério, Levi aconselha ao agente o uso da regra maximin como princípio de racionalidade adequado para resolver este problema, ou seja, dever-se-ia maximizar o valor mínimo (de utilidade) que é possível obter, seja qual for o estado do mundo que vier a ser o caso. Conclui, assim, o argumento: C2 é a acção que é racional empreender no PN, sendo este um problema em que as probabilidades condicionais utilizadas para o cálculo da utilidade são indeterminadas. Deixaríamos, assim, de ter um problema de decisão em condições de incerteza e passamos a ter um problema de decisão sob ignorância.
Mas não será verdade que a infalibilidade do previsor pode também ser representada pelas probabilidades condicionais utilizadas no cálculo da utilidade esperada e não pelas suas inversas? Pode, assim, colocar-se a seguinte questão: por que motivo associa Levi a infalibilidade do previsor às primeiras, pr(C1|PC1) e (C2|PC2), e não às segundas, pr(PC1|C1) e pr(PC2|C2)? Embora ele não ofereça uma resposta, podemos nós ensaiar uma: sendo que, de acordo com os dados do problema, o previsor faz primeiro a sua previsão e só depois é dado ao agente escolher, esta é uma ordem de eventos que parece favorecer a associação de Levi. Segundo a expressão de Nozick, esta interpretação estaria de acordo com a ‘ordem da explicação’. É perfeitamente normal que, ao falarmos de dois eventos, o evento condicionante seja anterior ao evento condicionado, podendo considerar-se mais correcto falar da escolha dada a previsão dessa escolha, do que da previsão dada a escolha. Contudo, a apresentação de Nozick torna suficientemente clara a inexistência de qualquer relação de causalidade entre a previsão, ou o conteúdo da caixa opaca, e a escolha do agente. Fazer anteceder a previsão da escolha serve apenas para acentuar a inexistência dessa relação de causalidade. É, portanto, irrelevante que a escolha do agente seja feita antes, durante ou depois da previsão, desde que a mesma não seja do conhecimento do previsor. Dado isto, torna-se, a meu ver, indiferente falarmos da probabilidade da escolha dada a previsão ou da probabilidade da previsão dada a escolha, passando a não existir qualquer motivo para interpretar a infalibilidade do previsor em associação com a pr(C1|PC1), e não em associação com a pr(PC1|C1). Além disso, uma característica comum aos três casos apresentados é que a fiabilidade do previsor, medida, de acordo com Levi, pela segunda destas probabilidades, depende contingentemente da
distribuição de casos de C1 e C2. Mas isto não parece ser o que Nozick tinha em mente. A infalibilidade do previsor, no sentido que Nozick associa ao termo, consiste no facto de ele ser muito bom a prever qualquer um dos casos, C1 ou C2.
Independentemente da maneira como se interpreta a fiabilidade do previsor, Ellery Eells (1984a) veio mostrar que, para se verificar uma recomendação de C1, não é necessário que ambas as probabilidades relevantes para o cálculo da utilidade esperada sejam altas. Mais ainda, é até possível que o facto de serem ambas baixas seja compatível com a recomendação de C1.
O que Eells demonstra é o seguinte: se pr(PC1|C1) > pr(PC1|C2), então a UCE (C1) > UCE (C2). É isto que sucede no caso 2, mas não nos casos 1 e 3. Ou seja, a utilidade condicional esperada do monocaixismo é maior do que a do bicaixismo, se a probabilidade de o previsor prever correctamente decisões monocaixistas (C1˄PC1) for maior do que a de ele se enganar e prever incorrectamente decisões monocaixistas (C2˄PC1); de outra maneira, se a probabilidade do monocaixista ser milionário for maior do que a do bicaixista ‘enganar’ o previsor. Isto faz, desde logo, algum sentido intuitivo: quanto menos fiável for a taxa de sucesso do previsor na previsão de decisões monocaixistas, mais sentido fará o agente decidir ‘arriscar’ e escolher as duas caixas. Consideremos a demonstração de Eells (1984a: 66-67):
UCE(C1) > UCE(C2), se, e somente se,
pr(PC1|C1).u(PC1&C1) + pr(PC2|C1).u(PC2&C1) > pr(PC1|C2).u(PC1&C2) + pr(PC2|C2).u(PC2|C2).
Como a disjunção entre as probabilidades condicionais acima constituem partições,
pr(PC1|C1).u(PC1&C1) + (1 – pr(PC1|C1).u(PC2&C1))
> pr(PC1|C2).u(PC1&C2) + (1 – pr(PC1|C2).u(PC2&C2)).
Daqui segue-se (algebricamente, ver apêndice 1) que
Os valores para a utilidade são os tradicionalmente apresentados no PN e são lineares com os valores monetários. Chamemos M ao valor que pode ser encontrado na caixa opaca, 1.000.000. Portanto, u(PC1˄C1) = M; u(PC1˄C2) = M + 1000; u(PC2˄C1) = 0; e u(PC2˄C2) = 1000. Substituindo os valores, temos que a desigualdade acima é equivalente a:
pr(PC1|C1) – pr(PC1|C2) > 1000/M
Gostaria apenas de complementar a prova com uma ilustração do resultado. Basta para isso lembrar que a taxa de sucesso que o previsor tem de exibir, de modo a que o princípio da maximização recomende C1, tem de ser superior a 0,5005. Considere-se a seguinte tabela com as respectivas probabilidades de sucesso do previsor:
PC1 PC2 C1 0,5005 0,4995 C2 0,4995 0,5005
Podemos constatar que pr(PC1|C1) – pr(PC1|C2), ou seja, 0,5005 – 0,4995 é igual a 0,001. Este valor corresponde, portanto ao lado direito da desigualdade acima, quando M é igual a 1,000,000. Para se obter uma recomendação de monocaixismo é, portanto, suficiente que a pr(PC1|C1) seja maior do que pr(PC1|C2). Além disso, por simetria da relevância probabilística, as seguintes desigualdades equivalentes (que podem ser facilmente observadas na tabela acima) também se verificam: pr(PC1|C1) > pr(PC2|C1), pr(PC2|C2) > (PC2|C1) e pr(PC2|C2) > pr(PC1|C2).
Conclui-se que o argumento a partir da maximização não é falacioso e que depende da infalibilidade do previsor, desde que estejamos preparados para considerar ‘infalível’ uma percentagem de sucesso superior a 0,5005. O carácter paradoxal do problema mantém-se obviamente inalterado, seja a taxa de sucesso do previsor de 0,5005 ou 0,9. Ou seja, é possível considerar que este resultado é consequência de uma certa noção de infalibilidade – ainda que esta possa não ser superior a 0,5005 - pois a probabilidade das duas previsões correctas é sempre maior do que a probabilidade das duas previsões incorrectas.