Cet ´etat de l’art sugg`ere de nombreuses directions pour am´eliorer l’ICP. Un premier axe porte sur la r´esolution de ses probl`emes de robustesse. Deux id´ees se d´egagent :
– l’EM associ´e au recuit simul´e semble ˆetre l’approche la plus efficace pour la ro-bustesse par rapport `a la transformation initiale. Il faut cependant lui donner une justification th´eorique, et savoir comment r´egler ses param`etres. C’est ce que nous ferons au prochain chapitre.
– l’utilisation de primitives plus complexes permet d’am´eliorer la robustesse aux points aberrants : nous pourrions en l’occurrence utiliser des points orient´es, puisque nous disposons d’une information sur la normale `a la surface en chaque point de nos nuages. Ce sera le sujet du chapitre 5, puis, dans un cadre plus g´en´eral, des chapitres 7 et 8.
Un second axe porte sur l’adaptation de l’ICP au recalage de surfaces (o`u les points ne sont pas v´eritablement appari´es) et en particulier sur l’estimation th´eorique de l’incertitude
car elle fonctionne mal sous sa forme actuelle. De plus, nous ne savons absolument pas comment pr´edire les autres sources de bruit (interne par exemple). Nous aborderons ce dernier point dans la section 5.4.
ICP et EM multi-´echelle
Sommaire
4.1 Introduction . . . 72 4.1.1 Probl´ematique . . . 72 4.1.2 Organisation du chapitre . . . 72 4.2 Statistical formulation of the ICP algorithm . . . 73 4.3 Derivation of the ICP/EM algorithm . . . 74 4.3.1 ML estimation of the transformation ignoring the matches 74 4.3.2 “Bayesian” estimation of the transformation . . . 75 4.3.3 Equivalence of the two approaches: the EM algorithm . . . 76 4.4 Multi-Scale gaussian ICP/EM with decimation . . . 77
4.4.1 ICP/EM for a homogeneous Gaussian noise and uniform priors . . . 77 4.4.2 Criterion shape and annealing scheme . . . 78 4.4.3 Decimation . . . 79 4.4.4 Analogy with multi-scale intensity-based techniques . . . . 81 4.5 Compl´ements sur l’ICP/EM . . . 82 4.5.1 Gradient du crit`ere & descente de gradient . . . 82 4.5.2 Hessien du crit`ere & vraie descente de gradient de type Newton 83 4.5.3 Calcul d’incertitude . . . 84 4.6 Parall´elisation . . . 84 4.6.1 Introduction . . . 84 4.6.2 Parall´elisation statique . . . 86 4.6.3 Parall´elisation dynamique . . . 89 4.6.4 Conclusion . . . 93 4.7 Conclusion . . . 93
4.1 Introduction
4.1.1 Probl´ematique
L’´etat de l’art pr´esent´e au chapitre pr´ec´edent montre une chose en particulier : la quasi totalit´e des d´eveloppements qui ont ´et´e faits autour de l’ICP sont tr`es pragmatiques, heuristiques, reposant la plupart du temps sur la minimisation d’un ou plusieurs crit`eres bien choisis, mais pas v´eritablement justifi´es. Nous souhaiterions donc mettre en place une fa¸con de d´eriver ces crit`eres qui s’appuie sur des hypoth`eses claires et un raisonnement rigoureux permettant de mieux comprendre pourquoi les algorithmes fonctionnent, et comment les adapter en fonction des donn´ees.
Plusieurs travaux sugg`erent ou pr´esentent une mod´elisation probabiliste du recalage : – Les travaux de Pennec [Pennec, 1996] justifient l’utilisation de la distance de
Maha-lanobis dans l’ICP pour des primitives vari´ees (points, tri`edres, ...).
– Les travaux de Rangarajan et al. (voir section 3.7) pr´esentent des variantes de l’ICP bas´ees sur des crit`eres inspir´es des statistiques.
– Wells [Wells, 1997] propose une mod´elisation statistique de l’ICP et sugg`ere d’ap-pliquer l’EM `a l’ICP. Il ne l’impl´emente et ne le teste malheureusement pas.
– Les travaux de [Luo and Hancock, 1999] appliquent l’EM au recalage rigide, mais de fa¸con peu claire et en se focalisant sur le probl`eme de l’appariement des points. Nous nous proposons donc ici de regrouper et compl´eter ces travaux, pour justifier l’ICP/EM, puis de leur donner une nouvelle interpr´etation multi-´echelle.
4.1.2 Organisation du chapitre
La premi`ere ´etape pour d´eriver l’ICP/EM est de r´e-´ecrire notre probl`eme de recalage sous forme d’un probl`eme de maximisation de vraisemblance. Nous le ferons `a la sec-tion 4.2, o`u nous verrons en particulier que l’ICP est en-fait l’approche “Maximum de vraisemblance pur”. Nous verrons ensuite comment l’adapter `a la fa¸con de l’EM (section 4.3).
D’un point de vue pratique (section 4.4), le principal int´erˆet de l’ICP/EM sera de lisser plus ou moins le crit`ere de l’ICP, en fonction d’un param`etre d’´echelle, la variance. Nous verrons qu’`a petite ´echelle, le crit`ere sera le mˆeme que l’ICP, avec ses nombreux minima locaux et les probl`emes de robustesse par rapport `a la transformation initiale que cela entraˆıne. Ces minima disparaˆıtront au fur et `a mesure que nous augmenterons l’´echelle, jusqu’`a se fondre en un seul minimum global, qui correspondra `a l’alignement des centres et moments d’inerties des deux nuages de points. Le recalage sera alors parfaitement robuste, mais tr`es impr´ecis. Nous obtiendrons finalement un recalage `a la fois robuste et pr´ecis en appliquant une m´ethode de raffinement progressif de l’´echelle
(“coarse-to-fine” en anglais), i.e. en partant d’une grande ´echelle et en la diminuant au cours des it´erations. Puis nous poursuivrons l’analogie avec les approches multi-r´esolutions connues en sous-´echantillonnant nos donn´ees en fonction de l’´echelle, pour r´eduire le temps de calcul. Ce sous-´echantillonnage sera effectu´e avec un algorithme de d´ecimation tr`es simple qui permettra en outre d’homog´en´eiser l’´echantillonnage des nuages de points, et donnera finalement des r´esultats bien plus robustes et rapides que l’ICP.
Dans la section 4.5, nous calculerons les diff´erentes d´eriv´es du crit`ere de l’ICP/EM, qui permettront d’adapter les m´ethodes d’optimisation par descente de gradient et les m´ethodes de pr´ediction th´eorique de l’incertitude.
Dans le section 4.6, nous pour parlerons de la parall´elisation des algorithmes (ICP et ICP/EM), qui permettra, en utilisant plusieurs ordinateurs, d’acc´el´erer encore le recalage. Pr´ecisons que la partie principale de ce chapitre (section 4.2 `a 4.4) est une version l´eg`erement remani´ee de l’article de conf´erence publi´e `a ECCV’02 [Granger and Pennec, 2002b].