Le développement entrepris afin de fournir un outil de visualisation 3D pour l’uti-lisation de la SMT s’effectue avec la contrainte de l’obtention d’un outil exploitable à court terme. Cela implique l’intégration de composants logiciels patrimoniaux, et cela, au détriment de la modularité et de l’évolutivité du produit logiciel obtenu.
Grâce à la démarche de rétro-ingénierie fondée sur les concepts de l’IDM présentés précédemment, nous avons pu limiter ces inconvénients. Nous détaillons ce travail de refactorisation dans le chapitre 6.
Il convient maintenant de présenter les travaux théoriques à partir desquels nous allons modéliser informatiquement le champ électromagnétique que génère la bobine lors d’une séance de SMT. Nous détaillons également la physique du modèle envisagé.
Chapitre 3
Modélisation et calcul des effets de
la SMT
Le principal but des travaux menés en modélisation, mathématique et informa-tique dans ce domaine a été de fournir des indications sur l’influence des champs électromagnétiques générés par la bobine sur le cortex du patient et surtout essayer de prédire le lieu où la stimulation serait la plus importante.
Comme exposé dans la section 1.3 page 30, la première loi à considérer est celle de Biot & Savart, qui permet de calculer le champ magnétique généré par la bobine. Les premiers travaux dans ce domaine ont donc eu pour but d’étudier la forme de ce champ magnétique en fonction de la forme de la bobine. C’est ainsi que de nombreux auteurs ont proposé des cartographies du champ magnétique généré par une bobine simple ou une bobine double. Ainsi Ueno et al. [Ueno et al., 1988] proposent de calculer le champ magnétique sur un maillage quasi-sphérique composé de 58 plans, tandis que Grandori et al. [Grandori and Ravazzani, 1991] effectuent une intégration numérique de la loi de Biot et Savart pour une bobine simple de forme circulaire. En utilisant les lois de Maxwell-Faraday et la loi d’Ohm J = σ · E dans un milieu isotrope et linéaire, Grandori et al. déduisent alors la densité de courant.
En utilisant le principe d’additivité des champs magnétiques, les auteurs pro-posent aussi des cartographies de champs pour des bobines doubles voire quadruples.
3.1 Calcul des effets de la stimulation
3.1.1 Modèle sphérique
Fondées sur les travaux de [Sarvas, 1987], les questions relatives au problème inverse (détermination des sources des champs électromagnétiques dans la tête du patient à partir de leurs mesures effectuées sur le crâne du patient) ont déjà été mises en avant par des études théoriques sur l’EEG dont la SMT se rapproche considérable-ment du point de vue du calcul électromagnétique. Ainsi, de nombreux auteurs ont proposé de s’intéresser comme pour l’EEG au calcul des champs électromagnétiques en assimilant la tête du patient à un modèle de sphères concentriques. Ces sphères pouvant présenter des propriétés électromagnétiques différentes, il s’agit d’étudier la diffusion des champs dans ce modèle simplifié de tête humaine.
Le principe de base du modèle sphérique présenté dans [Heller and van Hulsteyn, 1992] est fondé sur le principe de réciprocité : la densité de courant générée par un dipôle magnétique à une position r1 dans un milieu conducteur peut se déduire du calcul de la densité de courant générée par une boucle de courant localisée à l’extérieur du milieu.
Ce principe est d’ailleurs aussi valable pour d’autres milieux qui ne sont pas forcément de forme sphérique. Cette modélisation est aussi utilisée dans [Ravazzani et al., 1996] qui s’intéressent au calcul des champs dans un médium de forme cylin-drique (typiquement un membre quand il s’agit d’étudier la stimulation magnétique des nerfs périphériques).
Par contre là où le modèle sphérique est particulièrement intéressant, c’est que les auteurs de [Heller and van Hulsteyn, 1992] montrent que la valeur de −→E dans le milieu est indépendante du nombre de couches et des valeurs des conductivités dans celles-ci. Ils démontrent cette propriété en étudiant des conditions aux limites au niveau des interfaces des différentes couches sphériques comme par exemple la continuité des composantes radiales.
Avec de telles hypothèses, le calcul de −→E, qui peut se déduire de celui de −→B
via les équations de Maxwell (Maxwell-Faraday notamment), reste indépendant des variations de conductivité. Ainsi, même si cela ne justifie en rien le fait de pouvoir
MODELISATION ET CALCUL DES EFFETS DE LA SMT négliger complètement ces variations dans le cas général, le fait que le modèle sphé-rique soit proche de la géométrie du crâne peut donner envie d’appliquer directement le champ sur la surface du cortex. En effet celle-ci, contrairement à la peau et au crâne, est la première surface non vraiment assimilable à une sphère dans un modèle de tête plus proche de la réalité physique. On peut alors espérer que la diffusion des champs dans ces deux premières couches soit indépendante des conductivités de ces dernières et effectuer les calculs comme si elles se comportaient comme de l’air.
Au-delà de ces simplifications, il faut prendre en compte le fait que les champs vont diffuser dans un milieu non homogène où la perméabilité magnétique change en fonction du milieu (typiquement les valeurs de perméabilité varient entre les principales classes de tissus d’un cerveau : matière blanche, matière grise, liquide céphalo-rachidien [Hédou, 1997]). Le calcul des champs dans les différents milieux devient très complexe et nécessite des outils de résolutions mathématiques et infor-matiques plus évolués que le modèle sphérique.
3.1.2 Méthode des éléments finis
3.1.2.1 Principe
La méthode la plus répandue est celle des éléments finis, qui consiste à définir un domaine discret (maillage) pour représenter l’ensemble du domaine sur lequel on souhaite effectuer les calculs. Une fois le maillage défini (la difficulté principale étant de réaliser un maillage qui respecte certaines conditions de régularité), il faut définir sur chacun des éléments de ce maillage une formulation locale des lois qui régissent le système macroscopique. Une fois ces équations posées pour chaque élément, celles-ci se ramènent informatiquement à la mise en place d’un grand système linéaire dans lequel les coefficients dépendent des propriétés physiques locales (ici conductivité, perméabilité). La résolution de ce système linéaire permet alors de calculer numé-riquement une valeur du champ recherché en chacun des éléments du maillage. Par approximation et interpolation, il est possible d’associer à n’importe quel point de l’espace une valeur du champ recherché. Les équations de Maxwell (cf. section 1.3 page 29) permettent alors de remonter aux autres champs électromagnétiques en fonction de celui qui a été calculé dans la formulation.
3.1.2.2 Utilisation pour la SMT
Krasteva et al. [Krasteva et al., 2002] étudient la diffusion du potentiel vecteur magnétique dans un milieu non homogène quelconque. En utilisant Biot & Savart, les auteurs calculent le champ potentiel magnétique généré par une bobine sur la surface englobant l’espace d’étude (qui peut présenter des zones d’inhomogénéité en terme de conductivité électrique, perméabilité magnétique). A partir de ceci, en travaillant sur les équations de Maxwell, et en proposant des hypothèses simplificatrices (quasi-statique, régime oscillant), les auteurs ramènent le système d’équations à la diffusion du champ magnétique (équation de Poisson vectorielle) qu’ils résolvent en utilisant une méthode d’éléments finis.
Dans [Miranda et al., 2003], les auteurs s’affranchissent des hypothèses sim-plificatrices évoquées dans le paragraphe précédent en introduisant des équations supplémentaires qui expriment les relations de continuité de champs aux interfaces entre deux milieux de conductivités différentes. Ils résolvent ensuite le système sur un maillage adaptatif (en fonction de la proximité de la bobine génératrice). Leur étude comparative entre un milieu avec des propriétés électromagnétiques constantes et non constantes tend à montrer que le champ électromagnétique dans le milieu sera plus fort au niveau des interfaces entre deux milieux.
3.1.3 Méthode d’impédance 3D
Dans [Nadeem et al., 2003] et [Persson et al., 2003], les auteurs calculent les champs électriques et magnétiques induits en utilisant une méthode de calcul d’im-pédance tridimensionnelle. Pour ce faire, ils utilisent les données issues du The
Vi-sible Human Project [Ackerman, 1998] qui fournit un volume IRM segmenté sur
l’ensemble d’un être humain. Ainsi en se limitant à la tête du patient et en utilisant un maillage volumique uniforme (grille 3D calquée sur la géométrie de l’IRM), les auteurs mettent en place un réseau de résistances (cf Fig 3.1).
L’étape suivante consiste, en utilisant les lois de Kirchoff, à écrire que la somme des courants circulant entre deux noeuds du maillage est égale au courant induit localement par le champ magnétique généré par la bobine (cf Fig 3.2).
MODELISATION ET CALCUL DES EFFETS DE LA SMT
Figure 3.1 – Un voxel de propriétés électromagnétiques données est modélisé par un réseau de résistances. Source de l’image : [Persson et al., 2003]
Figure 3.2 – Boucle de courant et loi de Kirchoff : les 4 arêtes d’une face de voxel définissent une boucle de courant sur laquelle on exprime la loi de Kirchoff. Source de l’image : [Persson et al., 2003]
Le calcul du champ magnétique est exposé dans [Nadeem et al., 2003] où les auteurs effectuent celui-ci en utilisant la loi de Biot & Savart qu’ils intègrent en
réalisant une discrétisation de bobine MC-B70 (Medtronic).
L’ensemble des équations exprimées sur l’ensemble des noeuds permet de définir un schéma numérique (cf équation 3.1) que les auteurs résolvent itérativement via une méthode de relaxation successive (successive over-relaxation).
[Ix(i, j, k − 1) − Ix(i, j, k) − Iz(i − 1, j, k) + Iz(i, j, k)]Zy(i, j, k) +[Ix(i, j + 1, k) − Ix(i, j, k) + Iy(i − 1, j + 1, k) − Iy(i, j + 1, k)]Zz(i, j + 1, k) +[Ix(i, j, k + 1) − Ix(i, j, k) + Iz(i − 1, j, k + 1) − Iz(i, j, k + 1)]Zx(i, j, k + 1) +[Ix(i, j − 1, k) − Ix(i, j, k) − Iy(i − 1, j, k) + Iy(i, j, k)]Zz(i, j, k) = −iω∆y∆zB.ˆx [Iy(i, j, k − 1) − Iy(i, j, k) − Iz(i, j − 1, k) + Iz(i, j, k)]Zx(i, j, k) +[Iy(i + 1, j, k) − Iy(i, j, k) + Ix(i + 1, j − 1, k) − Ix(i + 1, j, k)]Zz(i + 1, j, k) +[Iy(i, j, k + 1) − Iy(i, j, k) + Iz(i, j − 1, k + 1) − Iz(i, j, k + 1)]Zx(i, j, k + 1) +[Iy(i − 1, j, k) − Iy(i, j, k) − Ix(i, j − 1, k) + Ix(i, j, k)]Zz(i, j, k) = −iω∆z∆xB.ˆy [Iz(i, j, k) − Iz(i, j − 1, k) + Iy(i, j, k − 1) − Iy(i, j, k)]Zy(i, j, k) +[Iz(i, j, k) − Iz(i + 1, j, k) + Ix(i + 1, j, k) − Ix(i + 1, j, k − 1)]Zz(i + 1, j, k) +[Iz(i, j, k) − Iz(i, j + 1, k) + Iy(i, j + 1, k) − Iy(i, j + 1, k − 1)]Zx(i, j + 1, k) +[Iz(i, j, k) − Iz(i − 1, j, k) + Ix(i, j, k − 1) − Ix(i, j, k)]Zz(i, j, k) = −iω∆y∆xB.ˆz (3.1) Les auteurs en déduisent alors les courants induits sur chacun des éléments du maillage et peuvent ainsi remonter à la densité de courant J et au champ électro-magnétique induit en utilisant la loi d’Ohm.