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Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.

On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.

Notons qu’une action libre est fid `ele.

Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).

Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par

φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x

est bijective.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.

On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.

Notons qu’une action libre est fid `ele.

Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).

Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par

φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x

est bijective.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.

On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.

Notons qu’une action libre est fid `ele.

Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).

Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par

φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x

est bijective.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.

On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.

Notons qu’une action libre est fid `ele.

Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).

Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par

φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x

est bijective.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.

On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.

Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.

On d ´efinit alorsD:= [

x∈Vm/G

φx(Dx).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.

On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.

Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.

On d ´efinit alorsD:= [

x∈Vm/G

φx(Dx).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.

On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.

Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.

On d ´efinit alorsD:= [

x∈Vm/G

φx(Dx).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.

On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.

Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.

On d ´efinit alorsD:= [

x∈Vm/G

φx(Dx).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.

On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.

Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.

On d ´efinit alorsD:= [

x∈Vm/G

φx(Dx).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

L’ensembleDainsi d ´efini est un

G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2

d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).

Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

L’ensembleDainsi d ´efini est un

G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2

d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).

Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

L’ensembleDainsi d ´efini est un

G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2

d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).

Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.

Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.

D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.

Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.

D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.

Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.

D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.

Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard

On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.

Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.

D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.

Plan de la pr ´esentation

1 Rappels sur les syst `emes de chiffrement et les modifications au sens des actions de groupe

Rappels sur les syst `emes de chiffrement it ´er ´es par blocs Modifications au sens des actions de groupes

2 Rappels sur les fonctions courbes Fonctions parfaitement non lin ´eaires Ensembles `a diff ´erences

3 Approche au sens des actions de groupe Rappels sur les actions de groupe FonctionsG-PN

4 Constructions de fonctions bool ´eennes courbes impossibles Dimension Impaire

Dimension Plane

On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.

Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm ×Vm,

|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.

On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.

Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm ×Vm,

|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.

On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.

Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm ×Vm,

|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.

Conjecture

Il n’existe pas de bijection presque parfaitement non lin ´eaire pourmpair.

Th ´eor `eme

Soitmun entier strictement positif quelconque. Soit

f :GF(2m)→GF(2m)un automorphisme additif. Alorsf est unebijectionGF(2m)-PN.

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

Preuve

Pour montrer quef estGF(2m)-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.

f(α.x)⊕f(x) = β

⇔ f(αx)⊕f(x) = β

⇔ f(αx⊕x) = β

⇔ f((α⊕1)x) = β

⇔ (α⊕1)x = f−1(β)

⇔ x = f−1(β) α⊕1 .

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