Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.
On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.
Notons qu’une action libre est fid `ele.
Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).
Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par
φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x
est bijective.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.
On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.
Notons qu’une action libre est fid `ele.
Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).
Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par
φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x
est bijective.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.
On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.
Notons qu’une action libre est fid `ele.
Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).
Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par
φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x
est bijective.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
Une action deGsurX induit une partition deX constitu ´ee d’orbitesO(x) ={α.x|α∈G}=G.x pourx ∈X.
On dit que l’action estlibresi quel que soitx ∈X,|G|=|O(x)|.
Notons qu’une action libre est fid `ele.
Soit doncGun groupe fini agissantlibrementsurVm. On suppose en outre queGcontient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard classiques (en particulier|G|=4N2).
Pour chaquex ∈Vm, l’application orbitale dex d ´efinie par
φx : G → O(x)⊂Vm α 7→ α.x
est bijective.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.
On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.
Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.
On d ´efinit alorsD:= [
x∈Vm/G
φx(Dx).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.
On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.
Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.
On d ´efinit alorsD:= [
x∈Vm/G
φx(Dx).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.
On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.
Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.
On d ´efinit alorsD:= [
x∈Vm/G
φx(Dx).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.
On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.
Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.
On d ´efinit alorsD:= [
x∈Vm/G
φx(Dx).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
A chaque orbiteOde la partition deVm, on associe un ´el ´ement x deVm tel queO(x) =Oet un ensemble `a diff ´erences de HadamardDx deG. De la sorte on constitue un ensemble not ´e Vm/Gderepr ´esentants des orbites.
On peut montrer queφx(Dx)est unG-ensemble `a diff ´erences deO(x)dont les param `etres sont les m ˆemes que ceux de l’ensemble `a diff ´erences de HadamardDx.
Si(x,y)∈(Vm/G)2etx 6=y alorsφx(Dx)∩φy(Dy) =∅.
On d ´efinit alorsD:= [
x∈Vm/G
φx(Dx).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
L’ensembleDainsi d ´efini est un
G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2
d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).
Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
L’ensembleDainsi d ´efini est un
G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2
d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).
Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
L’ensembleDainsi d ´efini est un
G-(2m,(2N2−N)j+(2N2+N)(4N2m2−j),(N2−N)j+(N2+N)(4N2m2 −j))-ensemble `a diff ´erences deVmo `ujest un entier entre 0 et 4N2m2
d ´esignant le nombre d’ensembles `a diff ´erencesDx choisis dont les param `etres sont de la forme(4N2,2N2−N,N2−N).
Les param `etres deDsatisfont en particulier l’ ´equation v =4(k−λ).
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.
Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.
D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.
Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.
D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.
Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.
D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.
Concat ´enation d’ensembles `a diff ´erences de Hadamard
On peut instancier la construction pr ´ec ´edente de mani `ere `a obtenir des fonctions bool ´eennes ” courbes ” en dimension impaire.
Soitmetk tels quem≥2k. On peut montrer queV2k agit librement surVmet contient des ensembles `a diff ´erences de Hadamard.
D’apr `es le r ´esultat pr ´ec ´edent, on peut construire une fonction f :Vm→GF(2)qui estV2k-PN m ˆeme simest un entierimpair, ce qui est ´evidemment impossible pour l’approche classique des fonctions courbes.
Plan de la pr ´esentation
1 Rappels sur les syst `emes de chiffrement et les modifications au sens des actions de groupe
Rappels sur les syst `emes de chiffrement it ´er ´es par blocs Modifications au sens des actions de groupes
2 Rappels sur les fonctions courbes Fonctions parfaitement non lin ´eaires Ensembles `a diff ´erences
3 Approche au sens des actions de groupe Rappels sur les actions de groupe FonctionsG-PN
4 Constructions de fonctions bool ´eennes courbes impossibles Dimension Impaire
Dimension Plane
On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.
Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm∗ ×Vm,
|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.
On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.
Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm∗ ×Vm,
|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.
On a d ´ej `a vu qu’il n’existe pas de fonction courbef :Vm→Vm. D `es que l’on a une solutionx0 `a l’ ´equationf(α⊕x)⊕f(x) =β, on en trouve imm ´ediatement une autreα⊕x0.
Le mieux que l’on puisse esp ´erer pourf est qu’elle soitpresque parfaitement non lin ´eairei.e.pour chaque(α, β)∈Vm∗ ×Vm,
|{x ∈Vm|f(α⊕x)⊕f(x) =β}| ∈ {0,2}.
Conjecture
Il n’existe pas de bijection presque parfaitement non lin ´eaire pourmpair.
Th ´eor `eme
Soitmun entier strictement positif quelconque. Soit
f :GF(2m)→GF(2m)un automorphisme additif. Alorsf est unebijectionGF(2m)∗-PN.
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .
Preuve
Pour montrer quef estGF(2m)∗-PN il suffit de prouver que pour chaque(α, β)∈(GF(2m)∗\ {1})×GF(2m), il existe un et un seulx ∈GF(2m)tel quef(α.x)⊕f(x) =β.
f(α.x)⊕f(x) = β
⇔ f(αx)⊕f(x) = β
⇔ f(αx⊕x) = β
⇔ f((α⊕1)x) = β
⇔ (α⊕1)x = f−1(β)
⇔ x = f−1(β) α⊕1 .