1 Suites adjacentes

R ´esultats sur les suites adjacentes

Soient (un) et (vn) deux suites r´eelles. On dit que (un) et (vn) sont adjacentes si elles v´erifient les trois conditions suivantes :

1. (un) est croissante ; 2. (vn) est d´ecroissante ; 3. limn→+∞vnun= 0.

D´efinition 32.75.

Si (un)n et (vn)n sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et :

n→+∞lim un= lim

n→+∞vn. Theoreme 32.76.Th´eor`eme des suites adjacentes

D´emonstration. ♦Dans un premier temps, montrons que, pour toutn∈N,unvn. Pour cela, posonswn=vnun.

wn+1wn=vn+1un+1−(vnun)

= (vn+1vn)−(un+1un)≤0 car

(un) est croissante :un+1un≥0

(vn) est d´ecroissante :vn+1vn≤0

donc (wn) est d´ecroissante vers 0. De ce fait, pour tout n∈N,wn≥0, c’est-`a-dire :

∀n∈N, vnun.

Les termes des suites (un) et (vn) sont donc rang´es comme indiqu´e sur la figure ci-dessous :

u0 · · · un−1 un · · · vn vn−1· · · v0

La suite (un) est ainsi croissante et major´ee par v0. Le th´eor`eme des suites croissantes major´ees permet de conclure que la suite (un) converge vers une limite λ.

La suite (vn) est d´ecroissante et minor´ee par u0. On peut conclure de mˆeme que la suite (vn) converge vers une limite λ0.

Or

n→+∞lim (unvn) = 0.

On en d´eduit que limn→+∞un−limn→+∞vn= 0, c’est-`a-dire λ=λ0.

Soient (un)n et (vn)n d´efinies de la mani`ere suivante : plus petit entier strictement sup´erieur `a 10n+1x, on a :

E10n+1x+ 1≤10(E (10nx) + 1) c’est-`a-dire

E10n+1x+ 1−10(E (10nx) + 1)≤0 ainsi,vn+1vn donc (vn)n est d´ecroissante.

On a : vnun= 101n, d’o`u limn→+∞vnun= 0.

Finalement, les suites (un)net (vn)nsont adjacentes. Nous venons de d´emontrer que tout nombre r´eelxest limite d’une suite de nombres rationnels. Il s’agit de la densit´e de QdansR.

Exemple 32.77.

Aire sous la courbe

Soit f une fonction continue ou en escalier, positive et monotone sur l’intervalle I = [a, b] et A d´esignant l’aire sous la courbe. La m´ethode des rectangles, par exemple, permet d’encadrerA.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2

0.4 0.6 0.8 1

0

Si `a tout entier naturel non nuln, on associe un partage r´egulier deI = [0,1] d´efini par son panpn(on a alorsN = p1

n), en posantan= N1 Pk=Nk=1 fNketbn= N1 Pk=Nk=0−1fNk, on d´efinit deux suites (an) et (bn) telles que, pour tout entier naturel non nuln,an≤ A ≤ bn.

Question :Est-ce que les suites (an) et (bn) ainsi d´efinies sont adjacentes ?

Si1 pn = n1, on ne peut pas conclure `a la monotonie des suites (an) et (bn) par des consid´erations d’aire car les n+ 1 rectangles obtenus `a l’´etapen+ 1 sont sans lien direct avec lesnrectangles obtenus `a l’´etapenet les suites (an) et (bn) ne sont pas n´ecessairement adjacentes.

Contre exemple : Soit f la fonction en escalier d´efinie sur [0,1] par : f(x) =

(1 si x∈[0,1/2]

1/2 si x∈[1/2,1]

Alors, on montre que :

a2=A et a3<A et plus g´en´eralement, pour tout entier naturel non nulk,

a2k=A et a2k+1=A.

La suite (an) n’est donc pas croissante.

1. `a l’´etapen, on partage l’intervalle [0,1] enN=nintervalles de mˆeme amplitude

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2

0.4 0.6 0.8 1

0

Dans ce cas o`u pn = n1, que les suites (an) et (bn) soient adjacentes ou ne le soient pas, les justifications ne sont en g´en´eral pas simples, on peut toutefois trouver quelques fonctions telles que la fonction carr´ee ou la fonctionf d´efinie parf(x) = x+11 pour lesquelles on obtient des suites dont on peut d´emontrer qu’elles sont bien adjacentes.

Si2 pn = 21n alors, dans le cas o`u f est monotone sur I, des consid´erations d’aire permettent d’´etablir la monotonie des suites (an) et (bn) et de montrer qu’elles sont bien adjacentes.

Cependant si l’on cherche `a exhiber un exemple correspondant `a ce cas, les expressions de (an) et (bn) deviennent vite tr`es compliqu´ees ´etant donn´e queN = 2n.

2 Suites d ´efinies par r ´ecurrence

Une suite d´efinie par r´ecurrence est une suite que l’on connaˆıt par son terme initial u0 ou u1 et une relation qui lie un terme quelconque en fonction du pr´ec´edent ou des pr´ec´edents.

D´efinition 32.78.Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence

Il existe diff´erents types de suite d´efinie par r´ecurrence : 1. Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence du type

(u0 =a un+1=f(un) 2. Suite arithm´etico-g´eom´etrique :un+1 =aun+b.

3. Suites d´efinies par une relation de la forme :

un+2 =aun+1+bun

et leurs deux premiers termes.

4. Suite homographique : un+1 = aucun+b

n+d. 5. . . .

(avecf :I →Ro`uI est un intervalle deR), il n’y a pas de formule permettant de calculer directement un en fonction de n, mais on dispose d’une relation (dite de r´ecurrence) permettant de calculer le terme de rang n+ 1 `a partir de celui de rang n. Ainsi, en connaissant le premier termeu0, on peut calculer le terme suivantu1, puis connaissantu1, on peut calculeru2.

Dans un rep`ere orthonorm´e, on trace d’abord la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinissant la relation de r´ecurrence et la droite d’´equation y = x. On part de u0 en abscisse : l’ordonn´ee du point de la courbe correspondant `a cette abscisse nous donneu1. Pour d´eterminer u2 = f(u1), il nous faut rabattre u1 sur l’axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite d’´equation y = x. D`es lors, u2 est l’ordonn´ee du point de la courbe d’abscisseu1.

Pour poursuivre la construction, on r´ep`ete le proc´ed´e en rabattant u2 sur l’axe des abscisses,u3 est l’ordonn´ee du point de la courbe d’abscisses u2. . .

Soit la suiteun d´efinie par :

2, par cons´equent elle est convergente mais on ne peut conclure que limn→+∞un=√

2.

Exemple 32.80. Suite de H´eron

Pour cela, on pose :

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ 12x+x2 f est d´erivable sur I = ]0,+∞[ et :

∀x∈I, f0(x) =1 2 − 2

x2 ≤ 1 2. Par l’in´egalit´e des accroissements finis, on a :

∀(x, y)∈I2, |f(x)−f(y)| ≤ 1

2|x−y|.

f est 12-contractante. Par le th´eor`eme du point fixe, (un) converge vers √

2, qui est l’unique point fixe def dansI.

On se sert de la suite de H´eron pour approximer le nombre irrationnel√ 2

1 2 3 4 5

1 2 3 4

0

Le tableau suivant donne des approximations de √

2 `a partir des premiers termes de (un). On remarque pour avoir une bonne approximation `a 10−4, on doit choisir u6 (ou les termes suivants).

n un erreur

0 17,807113 16,392899 1 8,959714 7,545500 2 4,591467 3,177254 3 2,513291 1,099315 4 1,654115 0,240397 5 1,431677 0,017463

3 Suites arithm ´etico-g ´eom ´etriques

On dit qu’une suite (un) estarithm´etico-g´eom´etrique s’il existe deux r´eelsaetb tels queun+1 =aun+b.

D´efinition 32.81.Suite arithm´etico-g´eom´etriques

La suite (un) d´efinie par un+1 = 2un+ 1 et de premier terme u0 = 1 est arithm´ etico-g´eom´etrique.

Exemple 32.82.

Une suite arithm´etico-g´eom´etrique n’est ni une suite arithm´etique ni une suite g´eom´etrique.

Remarque 32.83.

Soit (un) la suite arithm´etico-g´eom´etrique d´efinie, pour toutn≥0, parun+1 = 2un−3 et de premier terme u0 = 5. Montrer que la suite (vn) d´efinie pour tout n ≥ 0, par vn=un−3 est une suite g´eom´etrique.

Exemple 32.84.

♦On a :

u1 = 2×5−3 = 7 u2 = 2×7−3 = 11 u3 = 2×11−3 = 19.

Soit la suite (vn) d´efinie, pour tout n≥0, par : vn=un−3. On a alors : vn+1=un+1−3 = 2un−3−3

= 2un−6 = 2(un−3) = 2vn.

Donc la suite (vn) est g´eom´etrique de raison 2 et de premier termev0=u0−3 = 5−3 = 2.

On peut donc en conclure que, pour toutn,

vn=v0×2n= 2×2n.

Ainsi,un=vn+ 3 et on peut en d´eduire queun= 2×2n+ 3, pour tout n.

En r´esum´e, le sch´ema de l’´etude d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique est toujours le mˆeme :

1. Introduction d’une suite auxiliaire (vn) d´efinie `a l’aide de la suite (un).

2. D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique.

3. En d´eduire une formule exprimantvn en fonction de n.

4. A partir de la relation entre (v` n) et (un), en d´eduire une formule g´en´erale exprimantun en fonction den.

M´ethode 32.85.Etude d’une suite arithm´´ etico-g´eom´etrique

Pour fabriquer cette suite auxiliaire, voici comment orn proc`ede. On suppose qu’on doit ´etudier la suite arithm´etico-g´eom´etrique (un) de premier terme u0 donn´e et d´efini, pour tout n ≥ 0, par : un+1 = aun+b (on suppose que a 6= 1 et b 6= 0). On r´esout l’´equation x =ax+b et on note ` la solution de cette ´equation. On a alors `= a`+b.

Ainsi :

(un+1=aun+b

`=a`+b

et en soustrayant,un+1`=a(un`). On pose alorsvn=un`et on obtient ainsi que (vn) est une suite g´eom´etrique.

4 M ´ethode de dichotomie

Soit f d´efinie et continue sur [a , b] et telle que f(a)f(b) < 0. Alorsf admet au moins une racine dans l’intervalle [a, b].

Proposition 32.86.

D´emonstration. ♦ On utilise le principe de dichotomie : on d´efinit une suite (un) et (vn) paru0 =aetv0 =b, et pour toutn∈N,

(un+1 =un et vn+1 = un+v2 n sif(un)f(un+v2 n)≤0 un+1 = un+v2 n et vn+1 =vn sif(un)f(un+v2 n)≥0.

Par construction, les suites (un) et (vn) sont respectivement croissante et d´ecroissante, et pour toutn∈N,

|unvn| ≤ ba

2n −−−−−→

n→+∞ 0.

Ce sont donc des suites adjacentes, qui convergent donc vers une limite dans [a, b] que l’on note`.

La continuit´e def nous assure que limn→+∞f(un) = limn→+∞f(vn) =f(`), donc en passant `a la limite dans la relation f(un)f(vn)≤0, on obtient :

n→+∞lim f(un)f(vn)≤0⇒(f(`))2 ≤0⇒f(`) = 0.

En utilisant cette m´ethode de dichotomie, d´eterminer une valeur approch´ee de √ 2 `a l’aide de la fonctionf(x) =x2−2 d´efinie sur [1,2].

Exemple 32.87.

D´emonstration. ♦ On peut cr´eer la fonction suivante sur Xcas : d i c h o ( f , a , b , n ) : = {

l o c a l u , v , t , g ;

si g ( u )* g ( t ) < 0

La fonction prend comme argument :

la fonction consid´er´ee,

les bornes de l’intervalle de d´efinition,

la pr´ecision souhait´ee

La fonction cr´ee deux suites (un) et (vn) applique le principe de la dichotomie `a condition quevnun< 10n−11 .

On utilise la fonction avec les donn´ees de l’´enonc´e : f :x7→x2−2 sur [1,2]

Cette derni`ere ´equation n’admet qu’une unique solution dansZ× {0, . . . ,9}n, par unicit´e de l’´ecriture en base 10.

On montre que les coefficients ai sont ind´ependants du rang choisi. Autrement dit, montrons que (ai)0≤i≤n sont les mˆemes au rang n etn+ 1. Supposons qu’on ait au rang

On suppose enfin qu’il existe un entier naturel N tel que pour tout nN v´erifie an = 9. Quitte `a effectuer une multiplication par une combinaison lin´eaire de puissance de 10, on est ramen´e `a ´etudier le cas particulier 0,999. . .. Or :

et l’in´egalit´e (iii) n’est plus vraie pour toutnalors, car les membres de gauche et de droite sont ´egaux, ce qui est contradictoire.

Dans ce cas, par passage `a la limite :

et l’on dit que c’est led´eveloppement d´ecimal illimit´e proprede et on note de mani`ere plus commode x=a0a1a2a3. . ..

D´efinition 32.89.

Dans le document Leçon n o 32. Suites numériques. Limites. CAPES session CBMaths CBMaths.fr. Dernière mise-à-jour : 3 avril 2021 (Page 25-34)

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