1 Suites adjacentes
R ´esultats sur les suites adjacentes
Soient (un) et (vn) deux suites r´eelles. On dit que (un) et (vn) sont adjacentes si elles v´erifient les trois conditions suivantes :
1. (un) est croissante ; 2. (vn) est d´ecroissante ; 3. limn→+∞vn−un= 0.
D´efinition 32.75.
Si (un)n et (vn)n sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et :
n→+∞lim un= lim
n→+∞vn. Theoreme 32.76.Th´eor`eme des suites adjacentes
D´emonstration. ♦Dans un premier temps, montrons que, pour toutn∈N,un≤vn. Pour cela, posonswn=vn−un.
wn+1−wn=vn+1−un+1−(vn−un)
= (vn+1−vn)−(un+1−un)≤0 car
• (un) est croissante :un+1−un≥0
• (vn) est d´ecroissante :vn+1−vn≤0
donc (wn) est d´ecroissante vers 0. De ce fait, pour tout n∈N,wn≥0, c’est-`a-dire :
∀n∈N, vn≥un.
Les termes des suites (un) et (vn) sont donc rang´es comme indiqu´e sur la figure ci-dessous :
u0 · · · un−1 un · · · vn vn−1· · · v0
La suite (un) est ainsi croissante et major´ee par v0. Le th´eor`eme des suites croissantes major´ees permet de conclure que la suite (un) converge vers une limite λ.
La suite (vn) est d´ecroissante et minor´ee par u0. On peut conclure de mˆeme que la suite (vn) converge vers une limite λ0.
Or
n→+∞lim (un−vn) = 0.
On en d´eduit que limn→+∞un−limn→+∞vn= 0, c’est-`a-dire λ=λ0.
Soient (un)n et (vn)n d´efinies de la mani`ere suivante : plus petit entier strictement sup´erieur `a 10n+1x, on a :
E10n+1x+ 1≤10(E (10nx) + 1) c’est-`a-dire
E10n+1x+ 1−10(E (10nx) + 1)≤0 ainsi,vn+1 ≤vn donc (vn)n est d´ecroissante.
On a : vn−un= 101n, d’o`u limn→+∞vn−un= 0.
Finalement, les suites (un)net (vn)nsont adjacentes. Nous venons de d´emontrer que tout nombre r´eelxest limite d’une suite de nombres rationnels. Il s’agit de la densit´e de QdansR.
Exemple 32.77.
Aire sous la courbe
Soit f une fonction continue ou en escalier, positive et monotone sur l’intervalle I = [a, b] et A d´esignant l’aire sous la courbe. La m´ethode des rectangles, par exemple, permet d’encadrerA.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2
0.4 0.6 0.8 1
0
Si `a tout entier naturel non nuln, on associe un partage r´egulier deI = [0,1] d´efini par son panpn(on a alorsN = p1
n), en posantan= N1 Pk=Nk=1 fNketbn= N1 Pk=Nk=0−1fNk, on d´efinit deux suites (an) et (bn) telles que, pour tout entier naturel non nuln,an≤ A ≤ bn.
Question :Est-ce que les suites (an) et (bn) ainsi d´efinies sont adjacentes ?
Si1 pn = n1, on ne peut pas conclure `a la monotonie des suites (an) et (bn) par des consid´erations d’aire car les n+ 1 rectangles obtenus `a l’´etapen+ 1 sont sans lien direct avec lesnrectangles obtenus `a l’´etapenet les suites (an) et (bn) ne sont pas n´ecessairement adjacentes.
Contre exemple : Soit f la fonction en escalier d´efinie sur [0,1] par : f(x) =
(1 si x∈[0,1/2]
1/2 si x∈[1/2,1]
Alors, on montre que :
a2=A et a3<A et plus g´en´eralement, pour tout entier naturel non nulk,
a2k=A et a2k+1=A.
La suite (an) n’est donc pas croissante.
1. `a l’´etapen, on partage l’intervalle [0,1] enN=nintervalles de mˆeme amplitude
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2
0.4 0.6 0.8 1
0
Dans ce cas o`u pn = n1, que les suites (an) et (bn) soient adjacentes ou ne le soient pas, les justifications ne sont en g´en´eral pas simples, on peut toutefois trouver quelques fonctions telles que la fonction carr´ee ou la fonctionf d´efinie parf(x) = x+11 pour lesquelles on obtient des suites dont on peut d´emontrer qu’elles sont bien adjacentes.
Si2 pn = 21n alors, dans le cas o`u f est monotone sur I, des consid´erations d’aire permettent d’´etablir la monotonie des suites (an) et (bn) et de montrer qu’elles sont bien adjacentes.
Cependant si l’on cherche `a exhiber un exemple correspondant `a ce cas, les expressions de (an) et (bn) deviennent vite tr`es compliqu´ees ´etant donn´e queN = 2n.
2 Suites d ´efinies par r ´ecurrence
Une suite d´efinie par r´ecurrence est une suite que l’on connaˆıt par son terme initial u0 ou u1 et une relation qui lie un terme quelconque en fonction du pr´ec´edent ou des pr´ec´edents.
D´efinition 32.78.Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence
Il existe diff´erents types de suite d´efinie par r´ecurrence : 1. Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence du type
(u0 =a un+1=f(un) 2. Suite arithm´etico-g´eom´etrique :un+1 =aun+b.
3. Suites d´efinies par une relation de la forme :
un+2 =aun+1+bun
et leurs deux premiers termes.
4. Suite homographique : un+1 = aucun+b
n+d. 5. . . .
(avecf :I →Ro`uI est un intervalle deR), il n’y a pas de formule permettant de calculer directement un en fonction de n, mais on dispose d’une relation (dite de r´ecurrence) permettant de calculer le terme de rang n+ 1 `a partir de celui de rang n. Ainsi, en connaissant le premier termeu0, on peut calculer le terme suivantu1, puis connaissantu1, on peut calculeru2.
Dans un rep`ere orthonorm´e, on trace d’abord la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinissant la relation de r´ecurrence et la droite d’´equation y = x. On part de u0 en abscisse : l’ordonn´ee du point de la courbe correspondant `a cette abscisse nous donneu1. Pour d´eterminer u2 = f(u1), il nous faut rabattre u1 sur l’axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite d’´equation y = x. D`es lors, u2 est l’ordonn´ee du point de la courbe d’abscisseu1.
Pour poursuivre la construction, on r´ep`ete le proc´ed´e en rabattant u2 sur l’axe des abscisses,u3 est l’ordonn´ee du point de la courbe d’abscisses u2. . .
Soit la suiteun d´efinie par :
2, par cons´equent elle est convergente mais on ne peut conclure que limn→+∞un=√
2.
Exemple 32.80. Suite de H´eron
Pour cela, on pose :
f : ]0,+∞[ → R
x 7→ 12x+x2 f est d´erivable sur I = ]0,+∞[ et :
∀x∈I, f0(x) =1 2 − 2
x2 ≤ 1 2. Par l’in´egalit´e des accroissements finis, on a :
∀(x, y)∈I2, |f(x)−f(y)| ≤ 1
2|x−y|.
f est 12-contractante. Par le th´eor`eme du point fixe, (un) converge vers √
2, qui est l’unique point fixe def dansI.
On se sert de la suite de H´eron pour approximer le nombre irrationnel√ 2
1 2 3 4 5
1 2 3 4
0
Le tableau suivant donne des approximations de √
2 `a partir des premiers termes de (un). On remarque pour avoir une bonne approximation `a 10−4, on doit choisir u6 (ou les termes suivants).
n un erreur
0 17,807113 16,392899 1 8,959714 7,545500 2 4,591467 3,177254 3 2,513291 1,099315 4 1,654115 0,240397 5 1,431677 0,017463
3 Suites arithm ´etico-g ´eom ´etriques
On dit qu’une suite (un) estarithm´etico-g´eom´etrique s’il existe deux r´eelsaetb tels queun+1 =aun+b.
D´efinition 32.81.Suite arithm´etico-g´eom´etriques
La suite (un) d´efinie par un+1 = 2un+ 1 et de premier terme u0 = 1 est arithm´ etico-g´eom´etrique.
Exemple 32.82.
Une suite arithm´etico-g´eom´etrique n’est ni une suite arithm´etique ni une suite g´eom´etrique.
Remarque 32.83.
Soit (un) la suite arithm´etico-g´eom´etrique d´efinie, pour toutn≥0, parun+1 = 2un−3 et de premier terme u0 = 5. Montrer que la suite (vn) d´efinie pour tout n ≥ 0, par vn=un−3 est une suite g´eom´etrique.
Exemple 32.84.
♦On a :
u1 = 2×5−3 = 7 u2 = 2×7−3 = 11 u3 = 2×11−3 = 19.
Soit la suite (vn) d´efinie, pour tout n≥0, par : vn=un−3. On a alors : vn+1=un+1−3 = 2un−3−3
= 2un−6 = 2(un−3) = 2vn.
Donc la suite (vn) est g´eom´etrique de raison 2 et de premier termev0=u0−3 = 5−3 = 2.
On peut donc en conclure que, pour toutn,
vn=v0×2n= 2×2n.
Ainsi,un=vn+ 3 et on peut en d´eduire queun= 2×2n+ 3, pour tout n.
En r´esum´e, le sch´ema de l’´etude d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique est toujours le mˆeme :
1. Introduction d’une suite auxiliaire (vn) d´efinie `a l’aide de la suite (un).
2. D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique.
3. En d´eduire une formule exprimantvn en fonction de n.
4. A partir de la relation entre (v` n) et (un), en d´eduire une formule g´en´erale exprimantun en fonction den.
M´ethode 32.85.Etude d’une suite arithm´´ etico-g´eom´etrique
Pour fabriquer cette suite auxiliaire, voici comment orn proc`ede. On suppose qu’on doit ´etudier la suite arithm´etico-g´eom´etrique (un) de premier terme u0 donn´e et d´efini, pour tout n ≥ 0, par : un+1 = aun+b (on suppose que a 6= 1 et b 6= 0). On r´esout l’´equation x =ax+b et on note ` la solution de cette ´equation. On a alors `= a`+b.
Ainsi :
(un+1=aun+b
`=a`+b
et en soustrayant,un+1−`=a(un−`). On pose alorsvn=un−`et on obtient ainsi que (vn) est une suite g´eom´etrique.
4 M ´ethode de dichotomie
Soit f d´efinie et continue sur [a , b] et telle que f(a)f(b) < 0. Alorsf admet au moins une racine dans l’intervalle [a, b].
Proposition 32.86.
D´emonstration. ♦ On utilise le principe de dichotomie : on d´efinit une suite (un) et (vn) paru0 =aetv0 =b, et pour toutn∈N,
(un+1 =un et vn+1 = un+v2 n sif(un)f(un+v2 n)≤0 un+1 = un+v2 n et vn+1 =vn sif(un)f(un+v2 n)≥0.
Par construction, les suites (un) et (vn) sont respectivement croissante et d´ecroissante, et pour toutn∈N,
|un−vn| ≤ b−a
2n −−−−−→
n→+∞ 0.
Ce sont donc des suites adjacentes, qui convergent donc vers une limite dans [a, b] que l’on note`.
La continuit´e def nous assure que limn→+∞f(un) = limn→+∞f(vn) =f(`), donc en passant `a la limite dans la relation f(un)f(vn)≤0, on obtient :
n→+∞lim f(un)f(vn)≤0⇒(f(`))2 ≤0⇒f(`) = 0.
En utilisant cette m´ethode de dichotomie, d´eterminer une valeur approch´ee de √ 2 `a l’aide de la fonctionf(x) =x2−2 d´efinie sur [1,2].
Exemple 32.87.
D´emonstration. ♦ On peut cr´eer la fonction suivante sur Xcas : d i c h o ( f , a , b , n ) : = {
l o c a l u , v , t , g ;
si g ( u )* g ( t ) < 0
La fonction prend comme argument :
• la fonction consid´er´ee,
• les bornes de l’intervalle de d´efinition,
• la pr´ecision souhait´ee
La fonction cr´ee deux suites (un) et (vn) applique le principe de la dichotomie `a condition quevn−un< 10n−11 .
On utilise la fonction avec les donn´ees de l’´enonc´e : f :x7→x2−2 sur [1,2]
Cette derni`ere ´equation n’admet qu’une unique solution dansZ× {0, . . . ,9}n, par unicit´e de l’´ecriture en base 10.
On montre que les coefficients ai sont ind´ependants du rang choisi. Autrement dit, montrons que (ai)0≤i≤n sont les mˆemes au rang n etn+ 1. Supposons qu’on ait au rang
On suppose enfin qu’il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N v´erifie an = 9. Quitte `a effectuer une multiplication par une combinaison lin´eaire de puissance de 10, on est ramen´e `a ´etudier le cas particulier 0,999. . .. Or :
et l’in´egalit´e (iii) n’est plus vraie pour toutnalors, car les membres de gauche et de droite sont ´egaux, ce qui est contradictoire.
Dans ce cas, par passage `a la limite :
et l’on dit que c’est led´eveloppement d´ecimal illimit´e proprede et on note de mani`ere plus commode x=a0a1a2a3. . ..
D´efinition 32.89.