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Comparaison avec les pr´ edictions th´ eoriques

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 66-70)

Nous comparons maintenant la loi d’´echelle empirique aux pr´edictions th´eoriques existant pour des imp´edances purement r´esistives,Zt(ω)≈R.

4.5.1 A temp´` erature nulle

Dans un premier temps nous nous pla¸cons `a temp´erature nulle car les pr´edictions sont souvent plus simples. Sous ces conditions, la loi d’´echelle (4.3) devient :

G1(V1)/(1−RKG1(V1))

Il existe trois r´egimes dans lesquels les pr´edictions th´eoriques sont rigoureusement identiques `a cette ´equation :

— quandRRK, la conductance du canal ob´eit `a l’´equation de flot (2.16), dont on montre qu’elle v´erifie (4.5).

— quandR=RK, la solution (2.32) que donne l’ansatz de Bethe thermodynamique (TBA) se simplifie enI = 2RVB donne le mˆeme r´esultat), dont on d´eduit l’expression suivante de la conductance du canal (´eq. (2.33)) : G1

2 = R1

K

(V /VB)2

2+(V /VB)2, qui v´erifie aussi (4.5).

— quand V →0 et quelle que soit R, le TBA pr´edit que la conductance du canal est proportionnelle `a V2R/RK (terme n= 1 de la deuxi`eme ligne de l’´equation (2.32)) et donc v´erifie (4.5). On remarquera que la conditionV →0 est ´equivalente `aRKG→ 0 : il s’agit du r´egime o`u la conductance est presque enti`erement supprim´ee par les interactions (mˆeme si au d´epart τ est proche de un).

Pour des r´esistances entre 0 et RK, il faut recourir `a un calcul num´erique. La conductance du canal pr´edite par le TBA (´eq. (2.32) et (2.33)) est, pour des interac-tionsKdonn´ees, une fonction universelle,GK(V /VB). Elle est trac´ee en lignes continues sur la figure 4.7 pour des r´esistances 0.1 ≤R/RK ≤0.9, soit des param`etres d’inter-action 10/11 ≥ K ≥ 10/19. Les lignes en tirets repr´esentent la conductance calcul´ee

`

a partir de la forme (4.5) de la loi d’´echelle en prenant comme r´ef´erence la conduc-tance GK(Vref/VB) au point (Vref/VB)2R/RK = 10−2, o`u l’on a vu que les pr´edictions du TBA et de la loi d’´echelle sont identiques. On constate un bon accord quantitatif sur plusieurs ordres de grandeur en V /VB; l’´ecart relatif (encart de la figure 4.7) est inf´erieur `a 6% et est le plus prononc´e pourR=RK/2.

Pour des r´esistances R > RK, la conductance GK(V /VB) pr´edite par le TBA pr´esente un pic dont le maximum est sup´erieur `a e2/h (figure 4.8). Un tel pic n’est ni pr´edit par la loi d’´echelle, ni observ´e exp´erimentalement avec la r´esistance s´erie

R= 80 kΩ (figure 4.9). Il faut cependant remarquer que les conditions exp´erimentales sont assez ´eloign´ees de celles requises pour l’utilisation du TBA. D’une part, la valeur

´

elev´ee de la r´esistanceRn’autorise certainement pas `a n´egliger la coupure capacitive :

`

a la fr´equence des photons thermiques, ωth=kBT /~≈2π×0.4 GHz, la partie r´eelle de l’imp´edance a d´ej`a perdu un quart de sa valeur, Re[Z(ωth)] = 1+(ωR

thRC)2 ≈60 kΩ (pour rappel C = 2.8 fF). D’autre part, le pic trac´e sur la figure 4.8 `a temp´erature nulle est att´enu´e `a temp´erature finie – cet effet est d’ailleurs aggrav´e `a tension finie par le chauffage de la r´esistance s´erie par effet Joule.

4.5.2 A temp´` erature finie pour des interactions K = 1/2

Dans le cas sp´ecial o`u les interactions sont telles queK = 1/2, soit une r´esistance R=RK, le TBA (et la refermionisation) pr´edit une expression relativement simple de la conductance du circuit `a temp´erature finie et tension nulle :

Gtot = 1

KGtot. Quant `a la loi d’´echelle, elle devient sous ces conditions : G1(T1)/(1−RKG1(T1))

Sur la figure 4.10, la ligne continue correspond `a la conductanceG1

2(T /TB) pr´edite par le TBA et les lignes en tirets aux pr´edictions de la forme (4.7) de la loi d’´echelle en pre-nant comme r´ef´erence la conductanceG1

2(Tref/TB) au point Tref/TB = 0.1 (magenta) etTref/TB= 3.6 (jaune).

Les deux pr´edictions d´evient fortement hors du r´egime tunnel. Ce r´esultat est int´ e-ressant car il pourrait permettre de discriminer entre les deux. Malheureusement nous allons voir que les donn´ees exp´erimentales ne s’y prˆetent pas en l’´etat. Premi`erement,

´

etant donn´e qu’une temp´erature de r´ef´erence est n´ecessaire pour d´eterminer TB, la conductance doit ˆetre mesur´ee `a au moins deux temp´eratures diff´erentes, ce qui n’est le cas que des figures 4.3, 4.6A et 4.6C. Les donn´ees de la figure 4.3 sont mesur´ees avec la bonne r´esistance s´erieR= 25 kΩ, mais elles ne sont pas comparables aux pr´edictions du TBA car la coupure capacitive joue un rˆole important. Les donn´ees du groupe de Duke University (figures 4.6A et C), qui sont mesur´ees avec une capacit´e beaucoup plus petite, sont nettement plus adapt´ees `a une comparaison, mais l’essentiel se trouve dans le r´egime tunnel o`u les deux pr´edictions diff`erent peu. On observe bien quelques d´eviations entre les donn´ees et les pr´edictions de la loi d’´echelle quand G > 0.1e2/h, mais elles pourraient ˆetre li´ees `a la physique du niveau r´esonant.

Chapitre 4. R´esultats exp´erimentaux 67

0.01 0.1 1. 10. 100. 1000.

0.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.

(2V/ ) V

B 2r

G ( / ) e

2

h

0.01 0.1 1. 10. 100. 1000.

0.

0.05 0.1

(2V/ )VB 2r

|GLEGTLL| /GTLL-

/GTLL-Figure 4.7 – Comparaison de la loi d’´echelle empirique avec les pr´edictions du TBA `a temp´erature nulle pour R RK. Lignes continues : courbe universelle de la conductance GK(V /VB) pr´edite par le TBA `a temp´erature nulle, ´equations (2.32) et (2.33), pour des interactions K = 1/(1 +r). De gauche `a droite : r = 0.1,0.3,0.5,0.7,0.9. Lignes en tirets : conductance G(V /VB) calcul´ee `a partir de la forme (4.5) de la loi d’´echelle avec des r´esistancesR =rRK et en prenant pour r´ef´erence la conductanceGK(Vref/VB) au point (Vref/VB)2r= 0.01. Encart : ´ecart relatif entre les pr´edictions du TBA et de la loi d’´echelle.

0.1 1. 10. 100. 1000. 10 000. 100 000.

0.

0.5 1.

1.5 2.

2.5

(2V/ ) V

B 2r

G ( / ) e

2

h

Figure 4.8 – Pr´edictions du TBA `a temp´erature nulle pour R RK. La courbe universelle de la conductance GK(V /VB) pr´edite par le TBA `a temp´erature nulle, ´ equa-tions (2.32) et (2.33), est trac´ee pour des interactionsK= 1/(1 +r), avec de gauche `a droite : r= 1.0,1.5,2.0,2.5,3.0.

Figure4.9 –ependance en tension de la conductance du canal avec une r´esistance erieR= 80 kΩ.La conductance diff´erentielle du Qpcmesur´ee `a la temp´eratureT = 20 mK est trac´ee en fonction de la tensionV appliqu´ee `a l’´echantillon et de la tensionVqpc des grilles du Qpc. Contrairement aux pr´edictions de l’analogie avec les liquides de Tomonaga-Luttinger, lesquelles sont valables pour un environnement purement r´esistif, il n’apparaˆıt aucun pic et la conductance reste toujours inf´erieure `a e2/h.

0.1 1. 10. 100. 1000.

0.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.

T/T

B

G ( e

2

/ h)

0.1 1. 10. 100. 1000.

0.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.

T/TB

|GLEGTLL|/GTLL-

LEGTLL|/GTLL-Figure 4.10 – Comparaison de la loi d’´echelle avec les pr´edictions du TBA `a temp´erature finie et tension nulle pourR=RK.Ligne continue : conductanceG1

2(T /TB) pr´edite par le TBA, ´equation (4.6). Lignes en tirets : conductanceG(T /TB) calcul´ee `a partir de la forme (4.7) de la loi d’´echelle en prenant pour r´ef´erence la conductance G1

2(Tref/TB) `a la temp´eratureTref= 0.1TB (magenta) etTref= 3.6TB (jaune). Encart : ´ecart relatif entre les pr´edictions du TBA et de la loi d’´echelle.

Chapitre 4. R´esultats exp´erimentaux 69

4.6 Analogie avec les liquides de

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