Champ lointain

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I.2 Intensit´e multiplement diffus´ee en r´egime dynamique

I.2.5 Champ lointain

La d´enominationchamp lointain signifie ici que source et r´ecepteur sont plac´es id´ealement `a l’infini. Cette configuration est celle que l’on retrouve typiquement en optique [2, 4, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 32]. D´esormais, les ondes incidente et r´etrodiffus´ee sont des ondes planes caract´eris´ees par leurs vecteurs d’onde respectifskEetkR. Nous allons supposer ici le milieu al´eatoire semi-infini.

L’intensit´e multiplement diffus´ee est toujours la somme d’une intensit´e coh´erente (interf´erence entre ondes partielles associ´ees `a des chemins r´eciproques) et incoh´erente (interf´erence de l’onde partielle avec elle-mˆeme) (Eq.I.4). Ces deux contributions ne pr´esentent plus en champ loin-tain les mˆeme d´ependances spatio-temporelles que celles observ´ees en champ proche. Dans ce paragraphe, nous d´eveloppons, dans un premier temps, une approche qualitative permettant de pr´edire le profil spatio-temporel de l’intensit´e multidiffus´ee en configuration champ loin-tain. Puis, nous nous appuierons sur l’´etude th´eorique d’Akkermans et al. [6] pour donner les expressions rigoureuses des contributions coh´erente et incoh´erente.

Pour appr´ehender qualitativement le comportement de l’intensit´e multiplement diffus´ee en champ lointain, nous repartons de son expression g´en´erale donn´ee par Eq.I.4. D´etaillons

Fig. I.10: La diff´erence de phase `a grande distance dans la direction kR vaut (kE+kR).(R1−RN).

l’expression de hI(t)i dans le cas d’une intensit´e observ´ee dans la direction kR apr`es ´emission d’une onde plane depuis la directionkE: hI(kR,kE, t)i. Comme pour l’´etude en champ proche, on remplace la somme sur les chemins par une ´enum´eration de la position des centres des premier et dernier diffuseurs rencontr´es pour un chemin donn´e. On note A(RN,R1, t) l’amplitude au point RN obtenue au bout temps t, suite `a l’´emission d’une impulsion depuis un point source situ´e enR1. En champ lointain, l’intensit´e moyenne peut se d´ecomposer de la mani`ere suivante :

hI(kR,kE, t)i =

* X

R1,RN

kA(RN,R1, t)k2 +

+

* X

R1,RN

A(RN,R1, t)A(R1,RN, t) exp [j(kE+kR).(R1−RN)]

+ (I.47) Le premier terme correspond `a l’intensit´e incoh´erente ; il r´esulte de la sommation individuelle des intensit´es associ´ees `a chacun des chemins de diffusion possibles. Le second terme correspond

`a l’intensit´e coh´erente ; il contient les interf´erences entre chemins r´eciproques. Les diff´erences de phases entre les chemins r´eciproques sont de la forme ∆Φ = (kE +kR).(R1 −RN) (cf Fig.I.10). La diff´erence de phase est donc nulle dans la direction d’observation kR = −kE, c’est-`a-dire `a la r´etrodiffusion. On constate en outre que tous les chemins tels que R1 = RN

donnent lieu `a des interf´erences constructives quelles que soient les directions d’observation : on parle de chemins r´ecurrents. Etant donn´e que la contribution li´ee aux chemins r´ecurrents ne pr´esente pas de d´ependance angulaire, elle intervient dans le cˆone de r´etrodiffusion `a la mani`ere de l’intensit´e incoh´erente. C’est pourquoi, on classe l’intensit´e des chemins r´ecurrents dans le terme incoh´erent bien qu’ils r´esultent d’interf´erences r´esistant `a la moyenne. De la mˆeme mani`ere, on constate que les chemins de diffusion simple donnent lieu `a des contributions ´egales dans toutes les directions. En effet, on a R1 ≡ RN et donc ∆φ = 0, quels que soient kE et kR pour la contribution de diffusion simple IS. Notons θ =(k\E,kR) l’angle d’observation par

rapport `a la direction d’incidence. On peut donc d´ecomposer l’intensit´e moyenn´eehI(θ, t)iselon hI(θ, t)i=IS(t) +Iinc(θ, t) +Icoh(θ, t) (I.48) La diff´erence de phase entre les chemins de diffusion r´eciproques est nulle dans la di-rection arri`ere quelle que soit la position des diffuseurs. En dehors de cette didi-rection parti-culi`ere, ∆Φ est non nul et d´epend de la position des premier et dernier diffuseurs : la contri-bution des chemins r´eciproques ne r´esiste `a la moyenne qu’au voisinage de la direction de r´etrodiffusion. On peut ´evaluer le secteur angulaire ∆θ dans lequel Icoh est non nul par la condition (kE+kR).(R1−RN)< π. Le secteur angulaire ∆θ est donc de l’ordre de

∆θ ≈ λ

2|R1−RN| (I.49)

Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, on peut mod´eliser la diffusion multiple par une approche diffusive : au cours du temps le halo diffusif s’´etend selon une loi caract´eristique en √

Dt. Un ordre de grandeur de la distance entre le premier et le dernier diffuseur `a un temps t est donc donn´e par √

Dt. L’´evolution temporelle du secteur angulaire, o`u Icoh est non nul, est donn´ee par :

∆θ(t)∝ λ

√Dt (I.50)

En r´egime dynamique, on s’attend donc `a ce que le cˆone de r´etrodiffusion coh´erente s’affine au cours du temps (on parlera de cˆone dynamique), et on peut esp´erer acc´eder `a la constante de diffusion en mesurant la largeur dudit cˆone.

Plus rigoureusement, on peut reprendre les expressions g´en´erales des intensit´es coh´erente et incoh´erente (Eqs.I.25 & I.26) et les appliquer `a la configuration champ lointain d´ecrite sur la figure I.11.θE etθR sont les angles que font les vecteurs d’onde ´emis et re¸cus avec la normale `a

Fig. I.11: Les diff´erentes notations utilis´ees pour le calcul de l’intensit´e multidiffus´ee en champ lointain.

la surface du milieu diffusant. Comme en champ proche, on va se placer `a des temps suffisament longs pour pouvoir faire l’approximation diffusive. D’autre part, on va n´egliger les temps de propagation avant et apr`es les premier et dernier ´ev`enements de diffusion, en ignorant les enveloppes complexes des signaux ´emis et re¸cus, soit :

|AR(R,RN, t)|2t P(RN,R1, t)⊗ |t AE(R1,S, t)|2

≈P(RN,R1, t),

L’origine des temps est prise `a l’instant o`u l’onde incidente rencontre l’interface du milieu al´eatoire (z = 0). Les ondes ´emise ψE et re¸cue ψR sont des ondes planes de vecteurs d’onde respectifs kE et kR. L’onde plane ´emise est d’amplitude unit´e. En revanche, l’onde re¸cue doit ˆetre d’amplitude 1/√

2πpour tenir compte du fait que seule l’intensit´e r´efl´echie dans la direction kR est capt´ee :

traduisent la d´ecroissance de l’onde coh´erente au sein du milieu diffusant entre l’´emission/r´eception et le premier/dernier ´ev`enement de diffusion (traits gras sur la figure I.11).

En explicitant les expressions deψE et ψR dans les ´equations I.25 et I.26, on obtient : Icoh(kE,kR, t, ω) = c Dans un souci de simplification des calculs, nous allons supposer que nous sommes en incidence et r´eflectance quasi-normale, si bien que µE ≈ 1, µR ≈ 1 et θ << 1. Le terme de phase ∆Φ, apparaissant dans la contribution coh´erente, se simplifie tel que :

∆Φ ≈ (kE+kR).(R1−RN)

En tenant compte de cette simplification du terme de phase et en injectant l’expression de l’op´erateur de propagation de l’intensit´e dans un milieu 2D semi-infini (Eq.I.34), les expressions

des contributions coh´erente et incoh´erente deviennent :

Le termeIz(t) peut ˆetre calcul´e analytiquement aux temps longs. Du fait du facteur exponentiel exph

z1l+zextNi

, les termes gaussiens entre accolades peuvent ˆetre d´evelopp´es `a l’ordre 1 dans la limite des temps longs (Dt >> l2e), et on obtient :

Iz(t)≈ l2ext(z0+lext)2 Dt

En int´egrant suivant les positions x1 et xn, on obtient les expressions finales des intensit´es coh´erente et incoh´erente en champ lointain :

Icoh(θ, t, ω) = cl2ext(z0+lext)2

On peut remarquer que, en champ lointain, l’intensit´e incoh´erente ne d´epend pas de l’angle θ (dans la limite des angles petits). Le profil spatial de l’intensit´e multidiffus´ee obtenu en champ lointain est donc constitu´e d’un plateau incoh´erent, surplomb´e par le cˆone de r´etrodiffusion coh´erente dont la largeur se r´etr´ecit en (Dt)1/2 (cf Fig.I.12), de telle sorte que :

Icoh(θ, t, ω) = Iinc(t, ω) exp

−Dk02θ2t

(I.57)

On retrouve bien par ce calcul rigoureux le r´esultat pr´ec´edent (Eq.I.50), plus intuitif. Contrai-rement au cas de mesures en champ proche, c’est en examinant l’´evolution du profil angulaire de l’intensit´e coh´erente avec le temps qu’une mesure de la constante de diffusion D peut ˆetre r´ealis´ee. L’intensit´e incoh´erente, dont l’´evolution spatio-temporelle ´etait directement reli´ee au halo diffusif en champ proche, ne pr´esente aucune d´ependance angulaire en champ lointain ; on parlera par la suite de fond incoh´erent. Seule son ´evolution temporelle peut ´eventuellement donner une information sur le milieu sond´e. N´eanmoins, en pratique, cette observable est diffici-lement exploitable puisque l’´evolution temporelle de l’intensit´e incoh´erente d´epend des quatre param`etres le, la, D et l (par l’interm´ediaire de z0). Notons que dans le cas d’une tranche infinie (cf Fig.I.8), les calculs m`enent au mˆeme profil spatial pour l’intensit´e multiplement diffus´ee (Eq.I.57). Exp´erimentalement, Vreeker et al. [7] ont ´et´e les premiers `a r´ealiser, en op-tique, des mesures du profil spatial de l’intensit´e r´etrodiffus´ee en r´egime dynamique. Mais ce

Fig. I.12: Profil spatial typique obtenu pour l’intensit´e multidiffus´ee dans une configuration champ lointain.

type d’exp´erience reste compliqu´e `a mettre en oeuvre en optique car elle n´ecessite l’utilisa-tion d’impulsions femtoseconde. Au contraire, les barettes ´echographique utilis´ees en ultrasons permettent de r´ealiser facilement des exp´eriences r´esolues `a la fois en espace et en temps.

Maintenant que nous avons ´etabli th´eoriquement les ´evolutions spatio-temporelles des contri-butions coh´erente et incoh´erente de l’intensit´e multiplement diffus´ee dans les configurations de champ lointain ou de champ proche, nous allons discuter du cas des exp´eriences ultrasonores qui se d´eroulent g´en´eralement dans une configuration interm´ediaire.

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