I.2 Intensit´e multiplement diffus´ee en r´egime dynamique
I.2.6 Cas des exp´eriences ultrasonores
Dans le domaine des ultrasons, Bayer et Niederdr¨ank[12] furent les premiers `a mettre en ´evidence, en 1993, le cˆone de r´etrodiffusion coh´erente `a la fois dans un cadre tridimen- sionnel (gravillons immerg´es dans l’eau) et bidimensionnel (´echantillon de tiges de cuivre). Quelques ann´ees plus tard, Sakai et al.[14] mirent ´egalement en ´evidence le cˆone de r´etrodiffusion coh´erente dans du polystyr`ene immerg´e dans l’eau. Durant ces mˆemes ann´ees, Page et al. r´ealis`erent de nombreuses ´etudes sur les propri´et´es de transport d’une onde ultrasonore se pro- pageant dans un milieu h´et´erog`ene d´esordonn´e [30, 35, 36, 39, 40, 41]. Au LOA, Tourin et al. [24, 13, 42, 43] ont ´et´e les premiers `a mesurer les param`etres de transport de l’onde multiple- ment diffus´ee en examinant l’intensit´e diffus´ee en r´egime dynamique. Les exp´eriences ont ´et´e men´ees sur des ´echantillons 2D de tiges en acier r´eparties al´eatoirement (voir Fig.I.13). Les ´echantillons varient selon leur concentration en diffuseurs et le diam`etre de ces derniers. Pour les exp´eriences r´ealis´ees en r´etrodiffusion, le dispositif exp´erimental typique est d´ecrit sur la figure I.14. L’´echantillon est plong´e dans une cuve d’eau. Une barrette ´echographique compos´ee de N transducteurs est plac´ee en vis `a vis du milieu diffusant, `a une distance a. Comme en sismologie [17], un ´el´ement de la barrette fait office de source ponctuelle (´el´ement i sur la fi-
Fig. I.13: Echantillon 2D de tiges en acier r´eparties al´eatoirement. Ces milieux sont classique- ment utilis´es au laboratoire pour ´etudier les ph´enom`enes physiques mettant en jeu la diffusion
multiple.
(a) (b)
Fig. I.14: (a) Photographie du dispositif exp´erimental utilis´e pour ´etudier l’intensit´e multiple- ment diffus´ee : une barrette ´echographique est plac´ee en vis-`a-vis du milieu diffusant que l’on
gure I.14) ; le champ r´etrodiffus´e est ensuite mesur´e et son intensit´e est calcul´ee sur chacun des transducteurs de la barrette. Une moyenne sur diff´erentes configurations du d´esordre peut ensuite ˆetre r´ealis´ee en changeant de source et en r´ep´etant la proc´edure.
Les exp´eriences ultrasonores constituent un cas interm´ediaire entre les configurations champ proche et champ lointain. Selon le rapport entre la distance a et la taille du halo diffusif en √
Dt, nous sommes soit dans une configuration champ lointain (a >> √Dt), soit dans une configuration champ proche (a << √Dt). Un profil typique d’´evolution spatio-temporelle de l’intensit´e multiplement diffus´ee dans cette configuration interm´ediaire est montr´ee sur la figure I.15. Aux temps courts et aux petits angles, le profil de l’intensit´e multiplement diffus´ee est analogue `a ce qui est pr´edit th´eoriquement en champ lointain : un fond incoh´erent plat sur lequel est superpos´e le cˆone de r´etrodiffusion coh´erente autour de θ = 0. La largeur ∆θ du cˆone diminue en (Dt)−1/2. Mais, au bout d’un certain temps, on observe un ph´enom`ene de
saturation : l’´etendue angulaire ∆θ du cˆone ne pr´esente plus d’´evolution avec le temps et sature typiquement `a λa. On se retrouve dans la configuration champ proche, pour lequel le profil de l’intensit´e coh´erente ne pr´esente plus aucune ´evolution avec le temps. Quant `a l’intensit´e incoh´erente, elle pr´esente un profil plat puisqu’on est aux temps longs.
Fig. I.15: Evolution spatio-temporelle de l’intensit´e multiplement diffus´ee obtenue en champ interm´ediaire. L’intensit´e a ´et´e normalis´ee par son maximum `a chaque temps t.
Lors de ses travaux de th`ese, Victor Mamou[44] a mesur´e la constante de diffusion D de divers ´echantillons de tiges al´eatoires. Il a r´ealis´e le calcul th´eorique de l’´evolution spatio- temporelle de l’intensit´e coh´erente en configuration interm´ediaire. Comme on pouvait s’y at- tendre, celle-ci diff`ere de celle obtenue en champ lointain (Eq.I.57). De plus, les transducteurs de la barrette ´echographique ne sont pas ponctuels, mais de taille finie. Leur diagramme de directivit´e n’est donc pas isotrope et cela a une influence non n´egligeable sur l’´evolution tem-
porelle de la largeur ∆θ du cˆone de r´etrodiffusion coh´erente. Celle-ci est en effet donn´ee par [44] :
∆θ−2 = k
2D
Γ t (I.58)
o`u Γ est un coefficient d´ependant principalement de la distance a s´eparant la barrette du milieu diffusant et de la directivit´e des transducteurs. Ce facteur ne pr´esente pas d’expression analy- tique et ne peut ˆetre calcul´e que num´eriquement. Ainsi, la mesure du coefficient de diffusion D `a partir du cˆone de r´etrodiffusion coh´erente peut s’av´erer difficile si l’on n’est pas en mesure de connaˆıtre pr´ecis´ement Γ. D’autre part, la saturation du cˆone aux temps longs r´eduit signifi- cativement l’intervalle de temps sur lequel on peut ajuster lin´eairement l’´evolution temporelle de ∆θ−2, ce qui rend difficile la mesure du coefficient de diffusion D. On pourrait objecter
qu’il suffirait d’´eloigner autant qu’on le souhaite la barrette afin de se placer le plus lontemps possible dans une configuration champ lointain, tel que a >>√Dt. Toutefois, en pratique, cet ´eloignement conduit `a des signaux d’amplitude de plus en plus faible. On ne pourra donc pas mesurer le champ r´etrodiffus´e sur des temps suffisament longs du fait du seuil de d´etection limit´e de l’appareillage.
Un autre d´esavantage de la configuration interm´ediaire est son incapacit´e `a mesurer un coefficient de diffusion D local. En effet, en champ lointain ou interm´ediaire, l’onde incidente insonifie tout le milieu et la constante de diffusion D mesur´ee est moyenn´ee sur tout le milieu. Or, les milieux al´eatoires r´eels sont en g´en´eral inhomog`enes en d´esordre : certaines zones sont plus concentr´ees que d’autres en diffuseurs, par exemple. La solution serait donc de se ramener `a une configuration champ proche comme en sismologie. La mesure du coefficient de diffusion D serait faite, cette fois, en examinant l’intensit´e incoh´erente puisque son ´evolution spatio-temporelle repr´esente directement la croissance du halo diffusif au sein du milieu d´esordonn´e (Eq.I.41). La mesure du coefficient de diffusion serait locale puisque l’onde incidente n’insonifierait pas tout le milieu dans son ensemble mais juste une zone du milieu (centr´ee sur la source) dont la taille caract´eristique serait de l’ordre du libre parcours moyen le. Malheureusement, des
probl`eme exp´erimentaux rendent la configuration champ proche impossible ou tr`es d´elicate dans le domaine des ultrasons. D’une part, si la barrette est `a proximit´e du milieu diffusant, une partie du champ r´etrodiffus´e se r´efl´echit sur la barrette et ces ´echos non d´esir´es brouillent les mesures. D’autre part, la solution diffusive obtenue en champ proche n’est valable que dans le cas de sources et r´ecepteurs ponctuels. Exp´erimentalement, la directivit´e des ´el´ements brise la croissance de l’´etendue spatiale de l’intensit´e incoh´erente en√Dt et seul un calcul num´erique extrˆemement fastidieux pourrait permettre un ajustement avec les mesures exp´erimentales.
La premi`ere partie de ma th`ese a donc consist´e `a franchir ces obstacles inh´erents aux exp´eriences ultrasonores dans le but d’une meilleure caract´erisation des milieux d´esordonn´es. L’id´ee a ´et´e d’aller plus loin qu’un simple calcul d’intensit´e `a partir du champ r´etrodiffus´e mesur´e en champ interm´ediaire. En effet, la technologie multi-´el´ements disponible pour les ondes acoustiques offre une grande flexibilit´e au niveau exp´erimental. D’une part, les transducteurs sont contrˆolables `a l’´emission et `a la r´eception. D’autre part, ils mesurent `a la fois l’amplitude et la phase du champ r´etrodiffus´e. On peut donc jouer avec le champ ondulatoire en ´emission
et en r´eception avant de s’int´eresser `a l’intensit´e r´etrodiffus´ee. Ce type de traitement coh´erent des signaux est commun´ement appel´e formation de voies en acoustique comme en radar. Cette technique est couramment utilis´ee pour l’imagerie ultrasonore ou en acoustique sous marine. A partir de la configuration interm´ediaire des exp´eriences ultrasonores, nous avons pu nous projeter en champ lointain ou champ proche pour ´etudier l’intensit´e multiplement diffus´ee. Comme nous allons le voir, la formation de voies peut faciliter et am´eliorer la mesure des param`etres de transport de l’onde multidiffus´ee. Les r´esultats de mes travaux sur ce sujet ont donn´e lieu `a trois publications dans des revues `a comit´e de lecture. Celles-ci compl`etent ce premier chapitre.