Calcul d'atteignabilité approximative dans le cas de mise à

Nous appelons une mise à jour discrète la réinitialisation des variables d'état d'un système hybride lorsqu'une transition e = (q,q0,σ,g,reinit) est franchie. Les variables sont alors réinitialisés selon x := reinit(x).

À la diérence de l'ensemble de fonctions d'atteignabilité continues ap-proximatives, le calcul d'atteignabilité lors d'une mise à jour discrète peut être construit de la façon illustrée dans l'algorithme 4. Nous avons seulement besoin d'une constante k telle que reinit soit k-Lipchitzienne:

∀x,y ∈ X × X,kreinit(x) − reinit(y)k ≤ kkx − yk (3.12) La condition décrite par l'équation (3.12) est une hypothèse fondamentale et qui n'est pas trop restrictive. Pour faire en sorte que l'erreur soit inférieure à α, il sut d'imposer un découpage avec un rayon maximal  tel que:

∀x,y/kx − yk ≤ ,kreinit(x) − reinit(y)k ≤ α (3.13) Eq. 3.12 et Eq. 3.13 impliquent la condition nécessaire suivante:

k ≤ α ⇒  ≤ α/k (3.14) D'ou le choix de la tolérance maximale ˆ = α/k

Algorithme 4 fonction φD(A,q,x,t) Début 1. ∀e = (q,q0,g,σ,reinit),x ∈ g:

 découper x avec des cellules à rayons maximales ˆ = α/k

 Calculer pour chaque cellule l'image de son centre {xi} par reinit.  L'approximation de l'espace atteignable est (q0, ∪_i {x ∈ X/kx −

reinit(x_i)k ≤ α}). Nous dénissons la région succ : succ :=^[(q⁰, ∪_i{x ∈ X/kx − reinit(x_i)k ≤ }) 2. retourner φD(H,q,x,t) := succ

Fin

3.6 Conclusion

Nous avons présenté deux méthodes d'approximation de l'espace attei-gnable dans le cas continu et discret. Nous avons montré qu'on peut trouver un découpage minimal de la région origine permettant de construire une ap-proximation qui soit proche de la région atteignable réelle, quelle que soit la précision voulue. Cette garantie théorique n'est cependant pas une solu-tion pratique pour l'approximasolu-tion du cas continu à cause de la divergence exponentielle du terme de l'erreur.

Pour remédier à cette limitation, nous avons présenté une méthode ité-rative qui limite cette divergence en réalisant un découpage et simulation périodiques. Cette méthode peut être applicable même dans le cas de grands

horizons temporels, mais présente l'inconvénient de ne pas donner de garantie théorique quant à la croissance de l'erreur.

La combinaison de l'atteignabilité continue et discrète approximative ga-rantit la possibilité de calcul approximatif de la région atteignable dans le cas d'un horizon temporel et d'un nombre de sauts nis pour les systèmes hybrides dont les fonctions sont Lipchitziennes. Ce calcul d'atteignabilité est aussi possible lorsqu'on inclut une dimension incertaine en enrichissant les régions r dans X en r × Γ ∈ X × Γ. Par la suite, nous utiliserons les tech-niques développées dans le cadre de ce chapitre an de réaliser des tâches de haut niveau.

Génération et Vérication

Automatique de Stabilité

4.1 Introduction

La génération de commande stabilisatrice par rapport à une région est un sujet important puisqu'elle permet de restreindre le fonctionnement du système dans un ensemble de comportements désirables, ce qui est nécessaire pour garantir un fonctionnement satisfaisant du système. Une telle propriété est essentielle an de limiter les risques de comportements erratiques dus à des perturbations externes.

Disposer d'un outil permettant de réaliser une telle propriété est essen-tiel dans notre thèse. En eet, la reconguration d'un contrôleur nécessite de pouvoir stabiliser le fonctionnement du système dans une conguration précise. Dans ce cadre, ce chapitre peut être considéré comme un prolonge-ment du chapitre précédent, puisqu'il fournit les outils de bas niveau (calcul d'atteignabilité et vérication de stabilité) qui pourront être exploités par les tâches de haut niveau (abstraction et reconguration).

De façon classique, la théorie de la stabilité a été développée dans le cas des systèmes continus grâce aux théorèmes de Lyapunov. La stabilité d'un système continu peut être garantie en trouvant une fonction de Lyapu-nov (deuxième théorème de LyapuLyapu-nov), ce qui permet de prouver de façon formelle les diérents types de stabilité (asymptotique, globale, locale, expo-nentielle...). Voir par exemple [61].

Plusieurs méthodologies pour la vérication de stabilité ont été dévelop-pées pour des cas plus généraux tels que les systèmes hybrides (par exemple grâce aux fonctions multiples de Lyapunov [17]). D'autres méthodologies concernent des cas particuliers: Par exemple [34] pour les systèmes à com-mutations...

Un inconvénient majeur de ces méthodologies est qu'elles nécessitent de trouver la fonction de Lyapunov et la fonction de commande stabilisatrice. Cette tâche ne peut être conduite de façon systématique. En eet, elle dépend largement de l'habileté de l'expert et nécessite souvent un long temps pour l'analyse.

Dans ce chapitre, nous développons une méthodologie pour la vérication et la génération de commande pour la stabilisation dans une région de l'espace de phase de façon automatique. En pratique, la génération de commande permet d'assurer l'invariance de la région considérée en s'assurant que tous les points de fonctionnement de la frontière ne peuvent quitter la région sous l'action de la commande stabilisatrice. Enn, nous illustrerons cette méthodologie sur un exemple.

4.2 Problématique

4.2.1 Problématique générale de stabilisation d'un

sys-tème à transitions

Commençons par une formulation globale du problème de stabilisation dans une région d'un système à transitions. En général, stabiliser le fonction-nement d'un système dans une région veut dire que le point de fonctionne-ment nit par entrer et rester dans cette région sous l'eet de la commande stabilisatrice. Dans le cadre de notre thèse nous adoptons une dénition plus restrictive de la stabilisation: stabiliser le fonctionnement dans une région veut dire que le point de fonctionnement ne peut jamais quitter la région sous l'eet de la commande stabilisatrice. Plus formellement:

Denition 24 Soit (Q,E,Σ, → ,Q0) un système à transitions étiqueté et u : Q → Σ une fonction associant une loi de commande dans Σ au système selon le point de fonctionnement actuel. Soit r ⊂ Q une région de Q. On dit que u stabilise le fonctionnement du système dans r lorsque ∀q ∈ r,∀q0 ∈ Q,(q,u(q)) → q⁰ ⇒ q0 ∈ r.

Ce choix a été motivé par la nécessité d'exploiter les propriétés dénies en bas niveau lors de l'abstraction. En eet, adopter la dénition générale de la stabilité ne nous permet pas d'interdire certaines régions de l'espace de phase (puisque le point de fonctionnement peut osciller dans tout l'espace de phase avant de se stabiliser dans une région précise).

4.2.2 Problématique de stabilisation continue

˙x(t) = f (x(t),u(t)) (4.1) x(t) est la variable d'état continue, u(t) est l'entrée de commande. f est une fonction retournant un ensemble de dérivées possible (Ce qui permet de prendre en compte des incertitudes ou perturbations).

Soit une région r = {h(x) ≤ 0}. r est invariante sous une commande u si toute trajectoire commençant dans r reste toujours dans r.

Proposition 2 Une fonction de commande u stabilise le fonctionnement du système dans r = {h(x) ≤ 0} si pour chaque point x vériant h(x) = 0, on a ∇h(x) × f(x,u(x)) < 0.

la Figure 4.1 illustre le principe de la proposition 2. h(x) = 0 veut dire que le point x appartient à la surface délimitant la région r = {h(x) ≤ 0}. Dans ce cas, ∇h(x) est un vecteur qui est normal à la tangente à la surface en x.

∇h(x) × f (x,u) < 0 implique que pour x(t) = x,x(t + dt) ≈ x(t) + f (x(t),u(t))dt. Donc, h(x(t + dt)) = h(x(t) + f(x(t),u(t))dt) = h(x(t)) + ∇h(x) × f (x(t),u(t))dt. Or h(x(t)) = 0 d'ou :

h(x(t + dt)) = ∇h(x) × f (x(t),u(t))dt < 0

Ainsi, le problème de stabilisation du système dans r se réduit à trouver une commande u vériant la condition de Prop. 2.

Pour réaliser la stabilisation dans une région de l'espace d'état continu, nous supposons l'existence d'une famille nie de commandes possibles à in-jecter U = {ui,1 ≤ i ≤ |U |}.

Fig. 4.1  Illustration de la vérication de stabilité dans le voisinage d'un point x selon Prop. 2

4.2.3 Problématique de stabilisation d'un système

hy-bride

Considérons un système hybride conforme à la Dénition 15. L'espace de phase étant Q × X, une région de l'espace de phase peut être décrite sous la forme r = ∪(qi,ri), où qi est l'état discret et ri la région de X associée par r à l'état q.

Dans le cas d'un système hybride, il peut être impossible de trouver une commande stabilisatrice dans r à cause de la possibilité de transitions auto-nomes qui mettent à jour le point de fonctionnement du système en dehors de r. Aussi la stabilisation dans une région du système hybride revient à:

1. Trouver une sous région r0 = ∪(q_i,r_i⁰) de r telle que toute transition autonome dans r0 =provoque une évolution dans r0.

sta-biliser l'évolution continue dans r0 i.

4.2.4 Hypothèses

Puisqu'on travaille dans le contexte incertain nous utiliserons désormais l'espace Z = X × Γ.

Les hypothèses dont nous avons besoin sont essentiellement le caractère Lipchitzien et borné des fonctions f et ∇h. Ces hypothèses permettent de limiter le changement de l'expression ∇h(z) × f(z,u(z)) dans le voisinage de z (voir la section suivante pour plus de détails).