Cadre g´en´eral

Dans les milieux non lin´eaires qui poss`edent une susceptibilit´e non lin´eaire d’ordre 2, χ(2), non nulle, il est possible de transformer un photon de fr´equence 2ω en une paire de photons de fr´equence ω1 et ω2, v´erifiant : 2ω = ω1 + ω2. Il s’agit du ph´enom`ene de fluorescence

param´etrique. Les vecteurs d’onde des photons produits lors d’une telle conversion v´erifient une condition d’accord de phase qui impose :

k1+ k2 = 2k (1.37)

o`u 2k, k1 et k2 correspondent respectivement aux vecteurs d’onde du photon incident et des

deux photons produits. La combinaison de la condition 1.37 et de la conservation de l’´energie imposent aux photons produits de se propager `a l’int´erieur de deux cˆones de rayons respectifs |k1− k| et |k2− k|. La figure 1.6 donne un exemple typique d’un r´esultat exp´erimental dans

le cas d’un faisceau laser incident (traditionnellement appel´ee pompe) de longueur d’onde λP = 400 nm. Sur l’image, on observe sur un ´ecran une section du cˆone de lumi`ere form´ee

d’un des deux types de photons produits de longueur d’onde λS = 630 nm (Le faisceau

constitu´e par ces photons est traditionnellement appel´e le signal). Le fait que sur l’image la section du cˆone ne soit pas un cercle est dˆu aux caract´eristiques g´eom´etriques du cristal. Le

deuxi`eme cˆone de lumi`ere constitu´e du deuxi`eme type de photons produits n’est pas visible sur l’image, du fait de la longueur d’onde de ces photons λI= 1095 nm qui se trouve dans le

proche infra-rouge (Ce dernier faisceau est appel´ee l’idler).

Fig. 1.6 – Mise en ´evidence exp´erimentale du ph´enom`ene de fluorescence param´etrique. Un faisceau pompe de longueur d’onde λP = 400 nm est envoy´e `a l’int´erieur d’un cristal de

susceptibilit´e non lin´eaire d’ordre 2 non nulle. Sur un ´ecran plac´e apr`es le cristal, on peut observer la tache du faisceau pompe qui a travers´e le cristal (en bleu). L’interaction non lin´eaire entre la pompe et le cristal est `a l’origine de la section de cˆone visible sur l’´ecran autour de la tache du faisceau pompe (λS = 630 nm, en rouge sur l’´ecran). Un deuxi`eme cˆone

de lumi`ere, invisible sur l’´ecran puisque compos´e de photons de longueur d’onde λI = 1095

nm, est aussi produit du fait de l’interaction avec le cristal.

Chacun des cˆones de lumi`ere ainsi produit est en fait constitu´e d’une multitude de modes d´efinis par des vecteurs d’onde de mˆeme module mais de directions diff´erentes. Afin de mo- d´eliser simplement le ph´enom`ene, on peut se restreindre `a l’´etude de l’un de ces modes correspondant `a une direction donn´ee de propagation kS du signal. Du fait de la condition

d’accord de phase 1.37, ce mode n’est coupl´e qu’`a une seule direction kI de l’idler. On peut

ainsi ´ecrire un hamiltonien simplifi´e ne tenant compte que du mode du faisceau incident et de ces deux modes. Le faisceau indident ´etant g´en´eralement un faisceau laser puissant, on peut en premi`ere approximation l’assimiler `a un champ classique en n´egligeant ses fluctuations. Les deux autres champs sont d´ecrits par leurs op´erateurs d’annihilation respectifs ba1 et ba2.

Finalement, on peut ´ecrire [31] b H = ~ω1ba†₁ba1+ ~ω2ba†₂ba2+ i~χ  b a†_1ba†₂e−2iωt_{− ba}1ba2e2iωt  (1.38) La constante de couplage χ est proportionnelle `a la susceptibilit´e du second ordre du milieu et `a l’amplitude de la pompe.

1.2 Processus d’amplification param´etrique 21

En repr´esentation d’interaction, la r´esolution des ´equations de Heisenberg d´eduite d’un tel hamiltonien, est analytique et leurs solutions s’´ecrivent

b

a1(t) = ba1(0) cosh χt + ba†2(0) sinh χt

b

a2(t) = ba2(0) cosh χt + ba†1(0) sinh χt (1.39)

Imaginons que les deux modes sont initialement vides, on peut exprimer l’´evolution temporelle des populations bn1(t) et bn2(t) des deux modes sous la forme

hbn1(t)i = hba†_i(t)bai(t)i = sinh2χt

hbn2(t)i = hba†_i(t)bai(t)i = cosh2χt (1.40)

Le processus consid´er´e correspond donc bien `a une amplification des populations des modes 1 et 2. Celles-ci croient exponentiellement au cours du temps. On peut aussi s’int´eresser `a la forme de l’´etat quantique ainsi g´en´er´e. En repr´esentation d’interaction, on peut mettre l’op´erateur d’´evolution sous la forme

b

U (t) = exphχt_ba†_1ba†_{2+ ba}1ba2

i

(1.41) Pour construire l’´etat quantique produit au cours de l’amplification param´etrique, il faut r´eussir `a d´ecomposer l’op´erateur d’´evolution sous une forme plus adapt´ee. Ceci n´ec´essite un peu de travail math´ematique dont les diff´erentes ´etapes sont bien d´ecrites dans [53]. On peut aboutir `a b U (t) = (cosh χt)−1eba†1ba † 2tanh χte− “ b a†₁ba1+ba†2ba2+1 ” ln(cosh χt) e−ba1ba2tanh χt _(1.42) Pour un syst`eme initialement dans l’´etat vide |0i, la forme 1.42 de l’op´erateur ´evolution permet d’´ecrire l’´etat du syt`eme |Ψ(t)i `a un instant donn´e sous la forme d’une superposition d’´etats nombre : |Ψ(t)i = (cosh χt)−1 ∞ X n=0 (tanh χt)n_{|n, ni} (1.43)

o`<sub>u |n, pi est un ´etat nombre contenant n photons dans le mode 1 et p photons dans le mode 2.</sub> Le syst`eme consid´er´e ´evolue donc vers une superposition d’´etats qui contiennent un nombre ´egal de photons dans chacun des deux modes amplifi´es. Il y a donc une corr´elation parfaite entre le nombre de photons dans chaque mode. Nous verrons plus loin une mesure exp´erimen- tale mettant en valeur un tel effet. On peut aussi s’int´eresser `a l’´etat r´eduit correspondant `a l’un des deux modes

b ρi(t) = Tri{|Ψ(t)ihΨ(t)|} = (cosh χt)−2 ∞ X n=0 (tanh χt)2n_|nihn| (1.44)

Il s’agit d’un ´etat thermique avec un nombre moyen de photons hni = sinh2χt (voir l’analogie avec la discussion discut´ee `a partir de la formule 1.30). On s’attend donc `a pouvoir observer l’effet Hanbury Brown et Twiss sur de tels ´etats.

Une autre propri´et´e int´eressante de ces ´etats, correspond au fait que les corr´elations quan- tiques qui relient les modes du signal et de l’idler, entraˆınent une r´eduction des fluctuations

des quadratures de phase des champs 7. On parle aussi de squeezing [31]. Dans le cas d’un amplificateur param´etrique d´eg´en´er´e, c’est `_{a dire pour lequel ba}1 = ba2 = ba, cet effet apparaˆıt

clairement si l’on s’int´eresse aux fluctuations des quadratures d´efinies par b X1 = ba + ba† b X2 = ba − ba † i (1.45)

A partir de l’´evolution temporelle des op´erateurs ba et ba†, on peut ´ecrire que les fluctuations de bX1 et bX2 s’´ecrivent

h∆ bX1i = e2χt

h∆ bX2i = e−2χt (1.46)

Le produit des variances satisfait bien les relations d’incertitude de Heisenberg mais l’une des deux quadratures voit son bruit quantique r´eduit bien en dessous de celui du vide. Plus le temps d’interaction et le couplage sont grand, plus le squeezing observ´e est fort. On peut ´ecrire des relations similaires dans le cas d’un amplificateur param´etrique non-d´eg´en´er´e [31]. Cette r´eduction des fluctuations pr´esentent un int´erˆet fondamental par rapport aux mesures de pr´ecision que l’on peut ˆetre amen´ee `a r´ealiser. R´eduire ces fluctuations permet th´eoriquement de diminuer la limite fondamental de la pr´ecision que l’on peut obtenir, impos´ee par les relations de Heisenberg.

Enfin, si l’on s’int´eresse `a la limite o`_{u χt ≪ 1, l’´etat quantique produit correspond approxi-} mativement `_{a une paire individuelle de photons corr´el´ees : |Ψ(t)i ∼ α|0i + (1 − α)|1, 1i avec} α une constante de normalisation. L’amplificateur param´etrique peut alors ˆetre vu comme une source de paires spontan´ees de photons corr´el´ees. Ce type d’´etat pr´esente un int´erˆet fondamental en vue de la r´ealisation de tests fondamentaux de m´ecanique quantique. Nous approfondissons cette remarque dans les paragraphes suivants.