Application `a l’´etude d’un milieu tr`es faiblement diffusant

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III. A Annexes du chapitre III

IV.4 Application `a l’´etude d’un milieu tr`es faiblement diffusant

Le milieu faiblement diffusant ´etudi´e ici est un gel constitu´e `a 5% de g´elatine et `a 3%

d’agar-agar. L’´epaisseur L du gel est de 10 cm. Il s’agit du mˆeme ´echantillon que celui ´etudi´e au Chapitre I, lorsque que nous avons montr´e que l’´etude en champ lointain de l’intensit´e r´etrodiffus´ee permettait de mesurer un facteur d’amplification li´e `a la r´etrodiffusion coh´erente de tr`es faible amplitude [45] (cf §I.3.3). Cela nous assure du caract`ere tr`es faiblement diffusant du gel : la diffusion multiple est noy´ee dans une contribution de diffusion simple largement pr´edominante. Le dispositif exp´erimental est analogue `a ceux des chapitres pr´ec´edents (Fig.II.1).

L’exp´erience a lieu dans une cuve `a eau. Nous utilisons une barrette ´echographique constitu´ee deN = 125 ´el´ements (de largeur 0,39 mm), de fr´equence centrale 3 MHz et de bande passante [2,5 ; 3,5] MHz. L’espace inter-´el´ementspest de 0,417 mm. La fr´equence d’´echantillonnage des signaux est de 20 MHz. On enregistre tout d’abord la matrice des r´eponses impulsionnelles H(t). Son analyse temps-fr´equence donne acc`es `a l’ensemble des matrices de r´eponse K(T, f) obtenues au tempsT et `a la fr´equencef. Notons qu’ici l’origine des temps est prise `a l’instant o`u la source ´emet l’onde incidente. La s´eparation des contributions de diffusion simple et multiple est ensuite r´ealis´ee telle que d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent. A l’issue de cette op´eration, deux ensembles de matrices KS(T, f) et KM(T, f) sont obtenus. Dans le paragraphe suivant, nous illustrons la r´eussite de la s´eparation diffusion simple / diffusion multiple en consid´erant les

r´esultats obtenus pour un couple (T, f) quelconque.

IV.4.1 Illustration de la qualit´ e de s´ eparation diffusion simple / dif-fusion multiple

(a) (b)

(c) (d)

Fig. IV.2: D´ecomposition de la matrice K mesur´ee `a T = 115 µs et f = 3,1 µs. (a) Partie r´eelle deK0 initialement mesur´ee. (b) Partie r´eelle deKSassoci´ee `a la contribution de diffusion simple (espace signal). (c) Partie r´eelle de KM associ´ee `a la contribution de diffusion multiple (espace bruit). Pour ces trois premi`eres figures, l’´echelle de couleurs est identique. (d) Partie

r´eelle de KM avec une ´echelle de couleurs plus contrast´ee.

On consid`ere ici l’exemple de la matrice K obtenue au temps d’´echo T = 115 µs et `a la fr´equence f = 3,1 MHz. L’illustration exp´erimentale de la d´ecomposition d´efinie par les

´equations IV.13 et IV.14, est pr´esent´ee sur la figure IV.2. Les matrices K0 et KS sont prati-quement ´egales, ce qui est logique car le gel est faiblement diffusant et la diffusion simple y est nettement majoritaire. Les ´el´ements de la matriceKM sont d’amplitude nettement plus faible que ceux de la matrice d’origine. Comme pr´evu, la matriceKM est d’apparence al´eatoire, sans

corr´elation entre les ´el´ements, alors que la matrice KS pr´esente une coh´erence marqu´ee suivant les antidiagonales, signature de la diffusion simple.

IV.4.2 Intensit´ e multiplement diffus´ ee

(a) (b)

(c) (d)

Fig. IV.3: Intensit´es r´etrodiffus´ees en fonction du temps T et de la distance source/r´ecepteur X. (a) Intensit´e totaleI(X, T) obtenue `a partir de la matrice initialeK. (b) Intensit´eIM(X, T) correspondant `a la seule contribution de diffusion multiple, obtenue `a partir de la matrice KM. Pour ces deux premi`eres figures, l’intensit´e a ´et´e normalis´ee `a chaque tempsT par son maximum suivant X.(c) Evolution du ratio IMI en fonction du temps T. Les intensit´es I et IM sont ici moyenn´ees sur la distance source/r´ecepteur X. (d) Profil spatial de l’intensit´e multiplement

diffus´ee IM(X) obtenue au temps T = 137 µs.

Une fois la contribution de diffusion multiple isol´ee, on calcule l’intensit´e moyenne corres-pondante IM en fonction de l’´ecart source-r´ecepteur X et du temps d’´echo T :

IM(X =xj−xi, T) =D

kijM(T, f) 2E

{f,(xi,xj)} (IV.16)

Le symbole< . > repr´esente une moyenne effectu´ee d’une part sur toute la bande de fr´equence f et d’autre part sur tous les couples source/r´ecepteur (i, j) s´epar´es deX =xj−xi. Le r´esultat obtenu pour l’´evolution spatio-temporelle de l’intensit´e multiplement diffus´ee IM(X, T) est pr´esent´ee sur la figure IV.3. A n’importe quel instant T, l’intensit´e totale I(X, T) obtenue `a partir de la matrice initiale K pr´esente un profil spatial plat, sans direction privil´egi´ee, ce qui est caract´eristique d’une contribution de diffusion simple largement majoritaire (Fig.IV.3(a)).

Au contraire la matrice filtr´ee KM donne lieu `a un profil d’intensit´e typique de la diffusion multiple : le pic de r´etrodiffusion coh´erente est clairement observ´e autour deX = 0 (Fig.IV.3(b)-(d)). Ce ph´enom`ene a ´et´e largement discut´e au chapitre I, il se manifeste concr`etement par une intensit´e double au voisinage de la source (c’est-`a-dire pour X = 0) `a condition que les ondes mesur´ees soient issues de diffusions multiples. Le profil d’intensit´e obtenu `a partir de KM est donc caract´eristique de la diffusion multiple et montre l’efficacit´e de notre technique d’extraction de la composante de diffusion multiple, initialement noy´ee dans une contribution de diffusion simple largement dominante. L’´evolution temporelle du ratio IMI moyenn´e sur X est trac´ee sur la figure IV.3(c). On voit ainsi qu’on est capable d’extraire une composante multidiffus´ee qui est en intensit´e jusqu’`a cent fois inf´erieure `a la diffusion simple. La part de diffusion multiple parmi l’intensit´e totale augmente lin´eairement avec le temps, et nous verrons dans le paragraphe suivant comment obtenir `a partir de ces mesures exp´erimentales une caract´erisation ultrasonore de l’´echantillon ´etudi´e. Notons que l’intensit´e filtr´eeIM contient

´egalement un bruit exp´erimental non n´egligeable aux temps courts. On voit en effet que pour T < 80 µs, le facteur d’amplification en intensit´e autour de X = 0 est loin d’ˆetre ´egal `a 2, preuve que le fond incoh´erent deIM contient du bruit exp´erimental. Les mesures de l’intensit´e multiplement diffus´ee sont donc `a prendre avec pr´ecaution aux temps courts (T < 80µs). Au del`a, la contribution de diffusion multiple devient suffisament importante pour noyer le bruit exp´erimental. Un facteur d’amplification proche de 2 est obtenu pourT > 80µs.

IV.4.3 Caract´ erisation d’un milieu tr` es faiblement diffusant ` a partir de la contribution de diffusion multiple

Nous pouvons `a pr´esent tirer profit de la s´eparation des contributions de diffusion simple et multiple pour caract´eriser l’´echantillon de gel par des param`etres statistiques, tels que le libre parcours moyen ´elastiquele. Ce dernier peut ˆetre estim´e en examinant l’´evolution temporelle des intensit´es simplement et multiplement diffus´ees au point source (X = 0), not´ees respectivement IS(X = 0, T) et IM(X = 0, T). L’´evolution temporelle de ces deux intensit´es est montr´ee sur la figure IV.4.

Afin de mesurer les param`etres statistiques caract´erisant la d´ecroissance de l’onde coh´erente (lext, le et la), un mod`ele d´ecrivant l’´evolution temporelle de l’intensit´e moyenne diffus´ee est n´ecessaire. Pour cela, on s’est appuy´e sur la solution exacte de l’´equation de transfert radia-tif dans un cadre bidimensionnel [22]. Cette solution est `a utiliser plutˆot que la solution de l’´equation de diffusion. En effet, comme le gel ´etudi´e pr´esente un libre parcours moyen tr`es important (le ≃ 1000mm), les ondes multiplement diffus´ees sont associ´ees `a de faibles ordres

(a)

(b)

Fig. IV.4: Evolution temporelle de l’intensit´e r´etrodiffus´ee au point source. (a) Evolution de IS(X = 0, T). Les donn´ees exp´erimentales sont compar´ees `a la courbe th´eorique obtenue pour lext = 50 mm. L’intensit´e IS(X = 0, T) est normalis´ee par sa valeur maximum au cours du temps. (b) Evolution de IM(X = 0, T). Les donn´ees exp´erimentales sont compar´ees `a plusieurs courbes th´eoriques obtenues pour diff´erents libres parcours moyens (le = 50, 100, 200, 1000 mm). La longueur d’extinctionlextest fix´ee `a 50 mm. L’´echelle des ordonn´ees est logarithmique.

L’intensit´e IM(X = 0, T) est normalis´ee par la valeur maximum de IS(X = 0, T) au cours du temps.

de diffusion. Un mod`ele purement diffusif ne peut donc pas ˆetre appliqu´e ici. Les calculs de IS(X = 0, T) et IM(X = 0, T) sont d´etaill´es en Annexe IV.A. Ils s’appuient sur les ´el´ements th´eoriques d´evelopp´es au §I.2. Il apparaˆıt que l’´evolution temporelle de l’intensit´e simplement diffus´ee ne d´epend que du libre parcours moyen d’extinctionlext. Dans le cas du gel ´etudi´e ici, un ajustement entre la pr´evision th´eorique et le r´esultat de l’exp´erience (Fig.IV.4(a)) aboutit `a la valeur lext=50 mm. Si l’on consid`ere `a pr´esent l’´evolution temporelle de l’intensit´e multiple-ment diffus´eeIM(X = 0, T), l’analyse th´eorique montre qu’elle d´epend distinctement des libres parcours moyensle etla. Ainsi, une fois lext connu grˆace aux mesures de IS(X = 0, T), le et la

peuvent ˆetre d´etermin´es par ajustement des mesures exp´erimentales de IM(X = 0, T) avec la th´eorie (Fig.IV.4(b)). Le fait de pouvoir s´eparer contribution de diffusion simple et contribution de diffusion multiple permet donc de mesurer de fa¸con distincte les pertes par absorption et les pertes par diffusion. Ici, l’´echantillon ´etudi´e se trouve ˆetre beaucoup plus absorbant que diffusant puisqu’on trouve un libre parcours moyen ´elastique le ≃ 1000 mm alors que le libre parcours d’absorption la est de l’ordre de 50 mm.

Cette premi`ere exp´erience montre que notre technique permet de mieux caract´eriser le milieu diffusant, en mesurant s´epar´ement des param`etres diffusifs (le,la). Ici, on a consid´er´e un cas extrˆeme (gel faiblement diffusant) o`u le rapport IM/IS est particuli`erement faible, mais la mˆeme approchepeut ˆetre appliqu´ee au cas de milieux plus diffusants pour lesquels le rapport IM/IS est proche de l’unit´e.

IV.5 Application ` a l’imagerie ultrasonore dans le corps

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