Une analyse de stabilité linéaire du front liquide a été développée par Troian et al. [60] et reprise par Brenner [3], Kondic et Diez [28], Kondic [29]. Elle se base sur l’équation des films minces (éq. 1.35) adimensionnée par les grandeurs suivantes :
— l’épaisseur de référence est l’épaisseur en amont du bourrelet href, donnée par l’équation
1.37 dans le cas d’un film à débit continu.
— la longueur de référence est une longueur l caractéristique du bourrelet, déterminée par le calcul de l’adimensionnement.
— le temps de référence est donné par tc= l/hvxi , où hvxi est la vitesse moyenne en amont du bourrelet, définie par1.36 dans le cas d’un film à débit continu.
Cet adimensionnement fait apparaître le facteur tcγh
3 ref
3ηll3 = γh
3 ref
hvxi3ηl3. Ce facteur correspond à un rapport entre les effets de tension de surface et les effets inertiels. Dans la région du bourrelet, ces effets s’équilibrent. Ce rapport étant pris égal à 1, cela permet de définir la longueur caractéristique du bourrelet :
γh3 ref hvxi3ηl3 = 1 ⇒ l = href 3ηhvxi γ 1/3 = href (3Ca)1/3 (1.52) L’adimensionnement conduit à : ∂H ∂T + ∇ · [H 3∇(∆H)] − D(α)∇ · [H~ 3∇H] +~ ∂H 3 ∂X = 0 (1.53)
Dans l’équation1.53, le facteur D(α) est égal à D(α) = (3Ca)1/3cot(α). Ce terme est négligé par Troian et al. [60].
Afin de contourner le problème de dissipation des contraintes visqueuses au voisinage de la ligne triple, la condition de film précurseur est utilisée comme représenté sur la figure 1.21. Les conditions aux limites sont donc les suivantes :
— loin en amont de la ligne triple, l’épaisseur du film est égale à 1 : H(X = 0) = 1
— loin en aval de la ligne triple l’épaisseur du film est égale à celle du film précurseur :
H(+∞) = b
— en amont et en aval du film le film est plat : dHdX
X=0=dHdX
X=+∞ = 0
L’écoulement de base forme un front uniforme se déplaçant à vitesse constante correspon-dant à celle du film en amont. Le référentiel d’écriture des équations se déplace avec ce front. Ce changement de repère entraîne une modification de la vitesse moyenne apparaissant dans l’équation de continuité1.22. La vitesse moyenne dans ce nouveau repère se déduit de l’ancienne par translation :
Figure 1.21 – Système sur lequel l’analyse de stabilité linéaire est appliquée.
Le référentiel d’écriture des équations adimensionné se déplace avec ce front à la vitesse
U = hvxi/uf ront. Une nouvelle abscisse ξ est introduite, reliée à X par ξ = X − U T .
Le changement de repère x → ξ se manifeste par l’ajout du terme −U∂H∂ξ dans l’équation des films minces :
∂H ∂T + ∇ · [H 3∇(∆H)] − D(α)∇ · [h~ 3∇H] +~ ∂H 3 ∂ξ − U∂H ∂ξ = 0 (1.55)
Le principe de l’analyse de stabilité linéaire est de décomposer l’épaisseur du film en deux termes : l’écoulement de base H0, qui ne de dépend que de ξ, et une perturbation H1 de faible amplitude dépendant du temps et de la direction transverse. La décomposition s’écrit :
H(ξ, Y, T ) = H0(ξ) + H1(ξ,Y,T ) (1.56)
Développement à l’ordre 0
En injectant cette décomposition dans l’équation 1.53 et en développant à l’ordre 0 en ξ on obtient une équation différentielle uniquement sur le profil de l’écoulement de base :
∂ ∂ξ " H03∂ 3H0 ∂ξ3 # − D(α) ∂ ∂ξ " H03∂H0 ∂ξ # + ∂H 3 0 ∂ξ − U∂H0 ∂ξ = 0 (1.57)
Cette équation se réécrit de façon plus compacte en intégrant selon ξ :
− H3 0 ∂3H0 ∂ξ3 + D(α) " H03∂H0 ∂ξ # − H3 0 + U H0 = d (1.58) avec d une constante donnée par les conditions aux limites.
Dans le modèle du film précurseur ces conditions sont un profil plat en amont et en aval de la ligne de contact, d’épaisseur égale à 1 en amont et b en aval. On trouve alors d = −b(1 + b) ainsi que la vitesse d’avancée du front en fonction de l’épaisseur du film précurseur : U = 1 + b + b2. Lorsqu’on fait tendre l’épaisseur du film précurseur vers 0, la vitesse adimensionnée U tend vers 1, ce qui correspond à une ligne triple qui avance à la même vitesse que la vitesse moyenne du film amont.
Cette équation permet d’obtenir la forme du front non-perturbé en fonction de l’épaisseur du film précurseur, représentée sur la figure 1.22.
Figure 1.22 – Bourrelet à la ligne de contact obtenu à partir de l’équation 1.58. D’après Troian et al. [60]
Développement à l’ordre 1
La méthode pour obtenir l’ordre 1 est présentée dans cette partie, les équations sont déve-loppés dans l’annexe B.
Kondic [29] indique que la résolution de l’équation résultant du développement à l’ordre 1 s’effectue en décomposant la perturbation en deux termes, un dépendant de ξ et T , et l’autre dépendant de Y écrit comme une superposition de modes de Fourier :
H1(ξ,Y,T ) =
Z 0 −∞
g(ξ,T ) exp(iqY )dq (1.59)
où q est un nombre d’onde, relié à la longueur d’onde λ = 2π/q. Au lieu de considérer tous les nombres d’ondes, on peut se limiter à un seul et effectuer le développement pour ce nombre d’onde.
L’équation à l’ordre 1 pour un nombre d’onde q donne l’équation condensée sur g :
∂g
∂t = −Lg (1.60)
avec L l’opérateur défini en annexeB. Cet opérateur ne dépendant pas du temps, la solution
g de cette équation peut se décomposer en un terme exponentiel dépendant de T et un terme
dépendant de ξ :
g(ξ,t) = ψ(ξ) exp(σt) (1.61)
où σ est un taux de croissance, qui va dépendre de q. L’équation B.4 conduit donc à
σψ = −Lψ (1.62)
Kondic [29] pose que σ et ψ s’exprime comme une somme de puissances de q2 :
ψ = ψ0+ q2ψ1+ q4ψ2+ ... (1.63)
σ = σ0+ q2σ1+ q4σ2+ ... (1.64)
Le développement des calculs est fait par ordre croissant des puissances. Kondic [29] se concentre sur le développement pour de petits nombres d’ondes et néglige le terme en q4.
Le développement à l’ordre 0 pour q donne σ0 = 0, et à l’ordre 2 on obtient :
σ1 = 1 1 − b
Z 0
λ = 14 href
(3Ca)1/3 = 14l (1.66)
Toutefois Brenner [3] note les limites de l’analyse de stabilité linéaire. Même pour des fluides totalement mouillants, une transition film/ruisselets peut être observée en l’absence de bourre-let. De plus les hypothèses de base ne correspondent pas à des liquides non-mouillants. Cette analyse ne prend pas en compte l’effet de l’angle de contact et il n’y a donc pas de modèle théorique pour la prévision de la transition pour ces liquides.
Cependant, différentes simulations présentant une transitions film/ruisselets ont été effec-tuées par Slade [56] avec un modèle de pression de disjonction. L’influence de l’angle de contact sur la relation de dispersion est montrée sur la figure 1.23.
Figure 1.23 – Graphe de la relation de dispersion ω = ω(k) pour différents angle de contact sur une plaque inclinée à 60◦ d’après Slade [56].
L’angle de contact a un effet sur la forme du bourrelet. Ainsi, plus cet angle est grand, plus le bourrelet est élevé. À partir de l’analyse des simulations numériques, une corrélation est développée permettant de modéliser la longueur d’onde des ruisselets en prenant en compte l’angle de contact :
λ = 20href
(6Ca)0.4 − 1.51href6 1 − cos θ
2.4 Conclusion
La modélisation hydrodynamique de l’évolution d’un film s’écoulant sur une paroi permet d’obtenir des équations intégrales sur l’épaisseur du film. Cependant cette équation ne prend pas en compte les effets à la ligne de contact.
Des modifications des conditions d’adhérence ont été proposées pour éviter des divergences de dissipation, et des modèles d’évolution de l’angle de contact en fonction de la vitesse de la ligne triple ont été développés. Mais ces modèles ne permettent pas de prendre directement en compte les effets à la ligne triple dans l’équation hydrodynamique. C’est pourquoi un modèle de pression de disjonction permettant de retrouver le comportement dynamique de l’angle de contact a été proposé.
Enfin une analyse de stabilité linéaire des modèles de films a été publiée dans la littéra-ture afin de prévoir l’espacement entre les ruisselets pour des liquides parfaitement mouillants s’écoulant sur un film précurseur.
3 Études expérimentales de la transition film/ruisselets
sur plaque inclinée
La modélisation de la transition film-ruisselet nécessite d’avoir à la fois le comportement du film en amont de la ligne triple ainsi que l’écoulement à la ligne triple. L’observation expé-rimentale (Brenner [3]) montre l’apparition d’un bourrelet liquide juste derrière la ligne triple dynamique, mais ce bourrelet n’est pas systématique d’après Veretennikov et al. [62]. Ces ob-servations ont conduit à distinguer trois parties dans l’écoulement :
— la région extérieure correspondant au film derrière le bourrelet, modélisé comme un film d’épaisseur uniforme (constante dans le temps pour un écoulement à débit imposé) où la tension de surface peut être négligée
— La région intérieure correspondant au bourrelet, dans laquelle la tension de surface se manifeste par la courbure
— la zone de contact, dans laquelle un modèle supplémentaire doit être ajouté pour contour-ner la divergence de la dissipation visqueuse.
La description hydrodynamique (correspondant à l’équation des films minces 1.35) permet d’obtenir une équation de l’évolution de la surface libre des deux premières zones, mais sans préciser le comportement à la ligne triple, qui doit être traité par l’un des modèles présentés dans la partie précédente.
Ce découpage est utilisé pour avoir un cadre d’interprétation des résultats expérimentaux.