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CHAPITRE V CONCLUSION GENERALE

3. Algorithme de compensation de l’inertie des thermocouples

a. Présentation des structure

Afin de palier au problème de la constante de temps des thermocouples, des techniques de post-traitement ont été mises au point. Les principales techniques de compensation des constantes de temps sont utilisées dans l’article de Kenneth Kar, Cycle-by-cycle Variations in Exhaust

Temperatures Using thermocouple Compensation Techniques [45]. Dans cet article, l’auteur fait

l’hypothèse que le thermocouple se comporte comme un système du premier ordre. Cette hypothèse a été vérifiée dans le paragraphe précédent, et sera utilisée dans la suite de cette étude.

La température du thermocouple peut ainsi être modélisée par l’équation suivant qui a été précédemment définie. τ(t).𝑑𝑇𝑚 𝑑𝑡 = 𝑇𝑔(t) − 𝑇𝑚(t) Avec, 𝜏(𝑡) =K. d2−m 𝑉𝑚(𝑡)

Un des principaux enjeux pour évaluer la température du gaz, est donc d’évaluer la constante de temps 𝜏(𝑡).

Les méthodes de reconstruction de température qui vont être décrites par l’auteur s’appliquent à un signal d’entrée composé de deux mesures de température effectuées par des thermocouples présentant des temps de réponse différents. Les deux thermocouples effectuant la mesure sont placés de manière à ce qu’ils observent la même température, et sont soumis à la même vitesse de gaz. Cependant comme ils présentent des temps de réponse différents, bien qu’ils observent le même phénomène, les mesures enregistrées par les deux thermocouples sont différents. La température des deux thermocouples, 1 et 2 peut ainsi être évaluée par les équations suivantes :

τ1(t).𝑑𝑇𝑚1

𝑑𝑡 = 𝑇𝑔(t) − 𝑇𝑚1(t) et τ2(t). 𝑑𝑇𝑚2

𝑑𝑡 = 𝑇𝑔(t) − 𝑇𝑚2(t)

158 𝑇𝑔(t) = 𝑇𝑚1(t) + τ1(t). 𝑑𝑇𝑚1 𝑑𝑡 = 𝑇𝑚2(t) + τ2(t). 𝑑𝑇𝑚2 𝑑𝑡

On remarque que si les deux thermocouples ont le même temps de réponse, les deux équations seront identiques. C’est pourquoi il est nécessaire que les temps de réponse soient différents. Pour cela, des thermocouples de diamètres différents sont utilisés par l’auteur. A partir des équations ci-dessus, des algorithmes de calcul de ont été mis au point afin de résoudre ces équations, et ainsi de calculer 𝑇𝑔(t).

Ces algorithme sont basés sur la discrétisation des équations précédentes, et sont étudiées sous forme matricielle. L’auteur obtient alors le système suivant :

𝑇𝑔(k) = 𝑇𝑚1(k) + τ1(k).

𝑑𝑇𝑚1

𝑑𝑡 (𝑘) = 𝑇𝑚2(k) + τ2(k). 𝑑𝑇𝑚2

𝑑𝑡 (𝑘) Afin de résoudre ce système, deux structures matricielles ont été proposées par [N]:

 Structure CT (continuous time)

On a :

𝑇𝑚1(k) − 𝑇𝑚2(k) = τ2(k).𝑑𝑇𝑚2

𝑑𝑡 (𝑘) − τ1(k). 𝑑𝑇𝑚1

𝑑𝑡 (𝑘) On obtient donc en écriture matricielle :

𝑇𝑚1(k) − 𝑇𝑚2(k) = [−𝑑𝑇𝑚1 𝑑𝑡 (𝑘) 𝑑𝑇𝑚2 𝑑𝑡 (𝑘)] . [ τ1(k) τ2(k)] Ce que l’on peut résumer en : 𝒀(𝑘) = 𝑿𝑇(𝑘)𝜽

 Structure DE (differential equation)

On a : 𝑇𝑚2(𝑘) − 𝑇𝑚2(𝑘 − 1) = [ 𝑇𝑚1(𝑘) − 𝑇𝑚1(𝑘 − 1) 𝑇𝑚1(𝑘 − 1) − 𝑇𝑚2(𝑘 − 1)] . [ 1 − exp (−τ𝑡𝑠 2(k)) 1 − exp (−τ𝑡𝑠 1(k)) 1 − exp (− 𝑡𝑠 τ2(k))] Une nouvelle fois, il est possible d’écrire cette équation sous la forme : 𝒀(𝑘) = 𝑿𝑇(𝑘)𝜽 avec ts, le pas de temps entre deux mesure

b. Comparaison des structures

Cette équation est la suivante : 𝒀 = 𝑿𝜽 , 𝑜ù Y est une matrice de dimension (n, 1), X une matrice de dimension (n, 2) et θ une matrice de dimension (2, 1). L’indice n correspond au nombre de données de mesure.

En fonction de la structure considérée les éléments X, Y et θ ne font pas référence à la même chose. Le tableau ci-dessus (Tableau 24) montre ce que valent Y, X et θ en fonction de la structure considérée.

159 CT DE Y(k) 𝑇𝑚1(𝑘) − 𝑇𝑚2(𝑘) 𝑇𝑚2(𝑘) − 𝑇𝑚2(𝑘 − 1) X(k) [−𝑑𝑇𝑚1 𝑑𝑡 (𝑘); 𝑑𝑇𝑚2 𝑑𝑡 (𝑘)] [ 𝑇𝑚1(𝑘) − 𝑇𝑚1(𝑘 − 1) 𝑇𝑚1(𝑘 − 1) − 𝑇𝑚2(𝑘 − 1)] . θ(k) [ττ1(k) 2(k)] [ 1 − exp (−τ𝑡𝑠 2(k)) 1 − exp (−τ𝑡𝑠 1(k)) 1 − exp (− 𝑡𝑠 τ2(k))]

Tableau 24 : Tableau récapitulatif des matrices pour les différents algorithmes et structures

Quel que soit la structure considérée, les algorithmes qui seront décrits dans la suite de ce chapitre fonctionnent toujours de la même manière. En entrée des algorithmes, on retrouve les matrices X et Y et en sortie le vecteur θ.

c. Description des trois algorithmes

Afin de résoudre ces deux systèmes matriciels et ainsi d’obtenir les valeurs des matrices θ, trois algorithmes ont été utilisés par les auteurs [43], et [44].

Les trois algorithmes fonctionnent de la manière suivante : en entrée, ils reçoivent les matrices X et Y et en sortie, ils évaluent θ dont on déduit τ1 et τ2. Ils permettent d’évaluer les temps

de réponse respectifs de chaque thermocouple de manière différente.

 Algorithme des moindres carrés global

L’algorithme des moindres carrés global récupère en entrée l’ensemble des données provenant des deux mesures des thermocouples. Les données de l’ensemble des mesures nous donnent les vecteurs X et Y correspondant.

L’algorithme des moindres carrés global calcul une évaluation du vecteur 𝜽 à partir de la formule suivante :

𝜽 = (𝑿𝑇 𝑿)−1𝑿𝑇𝒀

L’inconvénient majeur de cet algorithme est qu’il traite l’ensemble des données de mesure en une fois et ne donne donc qu’un seul résultat pour 𝜽. Il est donc impossible de prendre en compte les variations des temps de réponse au cours du temps avec cet algorithme. Dans le cadre de l’observation de la température en entrée d’une turbine, on sait que les temps de réponse des thermocouples varient parce que la vitesse des gaz varie. Par conséquent l’algorithme ne pourra pas rendre compte des variations dynamiques de la température correctement. Cependant cet algorithme présente un avantage, qui est sa bonne stabilité.

L’utilité de cet algorithme est avant tout de venir évaluer les temps de réponse en première approche. On utilise ensuite cette première évaluation pour les calculs des deux autres algorithmes comme nous le verrons par la suite.

160  Algorithme des moindres carrés local

L’idée de cet algorithme est d’appliquer le même calcul que pour l’algorithme précédent mais de le faire, non pas sur l’ensemble des données, mais de sectionner les données et d’appliquer l’algorithme plusieurs fois indépendamment sur des paquets de données plus petits. En entrée de l’algorithme, il y a donc les mesures de température par les deux thermocouples sur l’ensemble du temps d’acquisition.

La première étape de l’algorithme consiste à faire un découpage des données. Pour cela on commence par calculer la durée de la fenêtre de temps qui servira au découpage. L’auteur [43], [44] se base pour cela sur les temps de réponse qui ont été estimés par l’algorithme précédent, τ1 et τ2.

A partir de ces temps de réponse, on calcule la taille de fenêtre 𝑡𝑓 par la formule suivante : 𝑡𝑓 = 1,5 . min ( τ1, τ2)

Le découpage est réalisé de la manière suivante :

On forme un premier paquet de données avec les mesures de température réalisées dans la première fenêtre de temps 𝑡𝑓. On calcule ensuite les matrices X et Y qui correspondent à ce premier paquet de données. On évalue alors le vecteur θ correspondant à la première fenêtre de temps à partir de la même formule que pour l’algorithme précédent :

𝜽 = (𝑿𝑇 𝑿)−1𝑿𝑇𝒀

A partir de 𝜽 on déduit les temps de réponse correspondant aux données de la première fenêtre de temps. On continue en isolant la deuxième fenêtre de temps et on applique la même méthode jusqu’à épuisement des données.

A la fin de l’algorithme, on obtient une estimation des temps de réponse des thermocouples en fonction du temps τ1 (t) et τ2 (t). Le principal inconvénient de cet algorithme est qu’il est sensible

aux variations locales de température et donc au bruit de mesure mais il permet de rendre compte des variations des constantes de temps en dynamique, ce qui n’était pas possible avec l’algorithme précédent.

 Estimateur de Kalman

L’estimateur de Kalman permet d’évaluer les temps de réponse des thermocouples en dynamique. Cependant son fonctionnement est différent de l’algorithme des moindres carrés puisqu’il évalue les temps de réponse en chaque point et qu’il le fait de manière récursive.

L’estimateur de Kalman, utilise les vecteurs X et Y en entrée. Il calcule le vecteur θ et sa covariance σ. Comme il est récursif, il est nécessaire de l’initialiser. Pour cela, le vecteur θ est initialisé avec le résultat obtenu par l’algorithme des moindres carrés global et la covariance est initialisée par la matrice identité.

Le but des calculs est de comparer l’évaluation de θ à l’indice précédent aux valeurs réelles des vecteurs X et Y à l’indice considéré. Plus les écarts entre les estimations et les valeurs réelles sont grandes, plus il est nécessaire d’ajuster la valeur de θ. L’estimateur agit donc de manière récursive en calculant la nouvelle estimation de θ à partir de la précédente estimation et des nouvelles données de mesure X et Y. A partir de chaque estimation de θ on calcule les estimations des temps de réponse des thermocouples à l’indice considéré τ1 et τ2.

161 En sortie de l’algorithme on a donc deux vecteurs 𝛕𝟏(t) et 𝛕𝟐(t). L’inconvénient majeur de cet

algorithme est qu’il est très sensible au bruit de mesure, cependant il permet bien de suivre l’évolution des temps de réponse des thermocouples à chaque instant.

d. Méthode de reconstruction de température

Une fois la constante de temps de chacun des thermocouples évaluée, il est alors possible de recalculer la température du gaz à chaque instant. Pour cela, on utilise l’estimation du temps de réponse du thermocouple τ1(t) ainsi que la température mesurée par le premier thermocouple

𝑇𝑚1(t) à partir de laquelle on calcule la dérivée discrète 𝑑𝑇𝑚1

𝑑𝑡 . Comme on fait l’hypothèse que le

thermocouple est un système du premier ordre, la température du gaz peut alors être calculée à partir des données du premier thermocouple 𝑇𝑔1(t) de la manière suivante :

𝑇𝑔1(t) = 𝑇𝑚1(t) + τ1(t).

𝑑𝑇𝑚1

𝑑𝑡 (𝑡)

De la même manière, on recalcule la température du gaz à partir des données du thermocouple 2. On appelle 𝑇𝑔2(t) cette reconstruction :

𝑇𝑔2(t) = 𝑇𝑚2(t) + τ2(t).

𝑑𝑇𝑚2 𝑑𝑡 (𝑡)

On calcule finalement une troisième reconstruction de la température du gaz en moyennant les reconstructions obtenues à partir des données de chaque thermocouple. On appelle 𝑇𝑔(t) cette

reconstruction moyenne. On a :

𝑇𝑔(t) =𝑇𝑔1(t) + 𝑇𝑔2(t) 2

e. Problèmes liés au bruit

La mesure de température par thermocouple étant une mesure de très faible tension, cette mesure est souvent assez bruitée. De plus, on constate que l’ensemble des algorithmes fonctionnent mal lorsque le niveau de bruit est élevé par rapport au signal à mesurer. C’est en particulier la dérivée discrète qui peut être à l’origine de ce problème. En effet, ce calcul de dérivée discrète intervient au moment de la reconstruction finale de température mais également lors de l’estimation des temps de réponse des thermocouples. On constate dans tous les cas que nos méthodes de reconstruction de température à partir des mesures de deux thermocouples ne fonctionnent pas si le bruit de mesure est trop important.

Pour résoudre ce problème, l’utilisation de filtre est nécessaire particuliers est nécessaire. Kenneth Kar [44], [45] a notamment développé l’utilisation de filtre de Gauss pour le débruitage des signaux de température. Ce filtre fonctionne en effectuant la convolution du signal à lisser avec la fonction 𝑔(𝑡) = exp(−𝜆 𝑡2). D’après les résultats de l’article [44], [45], on peut calculer λ à partir de la fréquence de coupure fc et de la fréquence d’échantillonnage fs à partir de la formule suivante :

𝜆 = (𝑓𝑐 𝑐 𝑓𝑠)

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