les additions et les soustractions

Pour préparer les élèves à la règle des signes ( 1 .2 1 4) , nous leur fournissons la représentation suivante (eux-mêmes fournissent les chiffres) :

+ +

Règle : On additionne selon les lignes et selon les colonnes. La somme des lignes et la somme des colonnes doi t être égale (1 9 dans notre exemple).

Puis nous passons ensuite au "palier + ^{1 "} :

Règle : On soustrait selon les lignes et on additionne selon les colonnes. En appliquant les deux règles, la différence des lignes et la somme des colonnes doit être égale (dans notre exemple : - 1 ).

Mais comme la pédagogie que nous préconisons doit être "manipulatoire" et de type visuo-moteur, nous n'allons pas expliquer la règle des signes mais la faire comprendre par le biais d'une construction de réglette dont voici la marche à suivre

Les deux réglettes A et B sont identiques. Elles sont fabriquées à partir de bandelettes de 12 mm )( 296 mm découpées dans du bristol blanc de format A4.

Les élèves séparent les chiffres de 8 mm ce qui permet d'aligner à gauche et à droite du O dix-huit nombres, donc de manipuler des chiffres de O à 9 (9 + 9 = 18) pour la compréhension.

Pour la pratique, la fiche explicative signale aux élèves la marche à suivre : 1 . La réglette A ne bouge jamais.

2. La réglette B seule se déplace.

3. Si l'on additionne, c'est le O de la réglette B qui s'aligne sur le chiffre de la réglette A à additionner.

4. Si l'on soustrait, c'est le chiffre à soustraire de la réglette B (et non plus le 0) qui s'aligne sur celui de la réglette A.

5. Le résultat se lit toujours _{sur la} réglette A.

Voici deux exemples visuels : 5 + 4 = 9

Le O s'aligne sur le 5. On lit 9 sur A.

4 - 7 = _-3

Le 7 s'aligne sur le 4. On va à O et on lit -3

Après de nombreuses manipulations effectuées par les élèves, on passera à un

"palier + 1" en introduisant des signes dans les cases. Insistons, avant de pas­

ser à cet exemple, sur le fait que c'est l'élève lui-même qui détermine quand il peut choisir le palier suivant : il faut qu'il soit en A ou en B (pp. 00-00) à la fiche de contrôle !

+ + + Règle : On soustrait en ligne;

( +5 ) (-3) ^{+ 8} on additionne en colonne.

( -4 ) ( +7 ) ^-11 Nous aurons donc :

( +1 ) ( +4 ) (+5) - (-3) ; ^(-4) - (+ 7)

(+5) + (-4) ; (-3) + (+ 7)

112

Vérifions, par exemple : (+ !5) + (-4) et (+ Eî) -- (--3) Celn donnera aux réglettes :

On additionne : le O s'aligne sur le 5. On revient à -4 et on lit + 1 sur la réglette A.

-1 0 + 1 +2 +3 +4 -4

On soustrait : le -3 s'aligne sur + 5. On revient à O et on lit + 8'sur la réglette A ! On pourrait tout aussi bien vérifier : (-3) - (-4)

On soustrait : le -4 s'aligne sur -3. On revient à O et on lit + 1 sur la réglette A ! Le "palier + 1" suivant consistera à ne plus employer la réglette mais à repré­

senter sur quadrillage les mêmes opérations sans utiliser les réglettes. Signalons que, sur le plan des objectifs intermédiaires, nous aurons passé à des tables à entrées multiples avec des nombres de plus de deux chiffres.

Reprenons nos exemples : 5 + 4 4 - 7 (+5) + (-4) (+5) - (-3) et (-3) - (-4)

Voyons la représentation de forme linéaire.

5 + 4 = 9 4 - 7 = -3

G+2 +3� +6 +7 +8 +9 1 1 11 12 13 14

1 1 1 , ��

-1 0�7

,,,....---...

(+5) + (-4) = ₍₊₁₎ 0 +1 +2 +3 +4 +5 -� -13 _!2 -11

ô

113

Sans en parler, la notion de vecteur intervient.

(+ fi) - (-3) , , (+ B)

--�<--,

o·-:.;

-,2 +3 .,4�_;5 +6 +7 +B ... ---,�-·, · · · 1 · -��2

-110-··

--,� ... --_ _ ,...., __ ,,,,,---'.Y

(--3) --(-4) = (+ 1 )

Le "palier + 1 " suivant verra l'introdu^ction de nombres dé^cimaux, d'abord simples 10,5; 3,2; 1 ,3; etc ... ), ensuite plus diffi^ciles (0,05; 1 0,025; 3, 125;

82,0101 ; et^c ... ).

Puis, on pourra reprendre les mêmes idées avec les fra^ctions ordinaires mais avant de les introduire, il faudra franchir un certain nombre de "paliers" et nous allons vous donner quelques exemples de cette démar^che.

Palier initial : Représenter sur quadrillage 2/3 3/4 1 /7 et^c ...

JJ \ · \· 1 l

³

^li

⁴

1 1 EE�-EFf I f l EH+E-

1-Palier + 1 Représenter divers rapports sur des coordonnées _-1- ----1-------�

--1-1--i---i---+-+--+ -1--f- 3 ·-t--t--t-⁺-+-+---+---1-t-4 l 4-1;

--4

-�� --- i ,---��---- f ·- --

-3 ... _.__,__l--'---'--·1,,,,..4--_.._ -

----3 4 ^{7 1}

-����� -�-�•- ��-��---�-

₃

6 3

5

Palier + 2 (par rapport au palier initial)

Les élèves doivent réaliser, quand les deux coordonnées (abscisse et ordonnée dont on ne donne pas le nom, sauf au niveau A de développement) engendrent une nouvelle surface, ^ce que l'an^cienne fra^ction devient dans la nouvelle sur­

fa^ce, en comptant des carrés. _Voici quelques exemples :

1 14

La représentation 1 a montre, en abscisse : 3

1-;

en ordonnée :

J,-;

_{..c soit : 61} ^c_carres ^arr�.

La représen tation 2 a montre, en abscisse :

*;

en ordonnée :

§-;

_{soit :}

f

^2cg��s

La représentation 3 a montre, en abscisse : � ; en ordonnée :

j;

soit : � 5��r%·s

1 2 ·

La représentation 1 b montre que -vaut dans la nouvelle surfa3 ' ^ce : 6 ^ccarres arr�s

3 9 ^carrés

La représentation 2 b montre que 4valent, dans la nouvelle surfa^ce : 12 carres Mais les 32-de 2 ^c valent 8 carrés. alors que les f.de 3 c valent 1 0 ^carrés

12 ^carres 3 15 ^carrés

Cette dernière "^constatation" entraîne une vérification.

Palier + 3 (par rapport au palier initial)

2_{____.,.} B = 24 3^----12 = 24

g___...,_10 � 30 3 ----15 = 30

La vérification ^consiste à multiplier par croisement. Si les deux résultats en haut et en bas sont identiques (24 - 24; 30 - 30), le travail est exact ! Nous avons alors tout pour passer aux 4 opérations.

Palier + 4 (par rapport au palier initial Addition ou soustraction

On ne peut pas additionner ou soustraire des tiers et des demies mais on peut additionner et soustraire des sixièmes et des sixièmes.

On aura don^c

ou

1/2 + 1/3..__.,,3/6 + 2/6 = 5/6 1/2 - l /3...,3/6 - 2/6 = 1/6

2/3 + 3/4----8/12 + 9/12 = 17/12 2/3 - 3/4-8/12 - 9/12 = - 1/12

1 15

(exemple 1 )

(exemple 2)

OlJ :3/ 5 ,: 2/3._.-,,,9/15 elO/l!i "' J.9/15 3/5 •. ?./3�_.,.9/l!i -10/1!:i "' - 1/ 1 !,

(eJCemple 3)

I\Jous ne pouvons malheureusement pas développer toute ce que l'on peut tirer de ces comparaisons (par exemple que 3/5 est plus petit que 2/3, ^ce qui n'est pas évident de prime abord pour nos élèves) , mais nous pouvons signa­

ler au lecteur que, par paliers successifs, l'élève arrivera sans problème à domi­

ner l'ensemble des 4 opérations à l'aide de fractions ordinaires.

Pour la division, on partira du même schéma que pour l'addition ou la sous­

traction. On ne peut pas diviser des demies par des tiers mais on peut diviser des sixièmes par des sixièmes. Il s'agit bien entendu de divition de contenance.

1 /2 c'est 3 sixièmes et 1 /3, 2 sixièmes.

Combien de fois 2 six. dans 3 six.? C'est donc : 3 six. : 2 six. ⁼ 3/2 fois 2/3 c'est 8 douzièmes et 3/4, 9 douzièmes.

Combien de fois 9 douz. dans 8 douz. ? C'est donc : 8 douz. : 9 douz. ⁼ 8/9 fois ... et ainsi de suite !

Pour la multiplication, le problème de représentation est différent. 1 1 faut voir le rapport qui existe entre l'ancienne surface engendrée et la nouvelle.

Il

@

^C

6 7 8 g 5 1 7

2 3 � 10 IÔ 18

3 � i ⁴

4 4 5 5 6

Regardons le premier croquis de @ La surface hachurée représente l'ancien­

ne aire engendrée par rapport à la nouvelle en pointillé.

Si nous comptons maintenant les carrés, nous voyons que l'ancienne surface fait 6 carrés et la nouvelle : 12.

Nous aurons alors · _{. 3} f. x � ₄ = _{1 2}

2-L'exemple

Œ)

donne :

t

^x

t

c'est comme ⁴ carrés par rapport à 1 0 carrés,

OU : 21 ^X 4 - 4

5 - ro

Pour l'exemple fc0 on aura : 4� x \..J

4-

₅ ⁼ 20 carrés 20 12...�rrfs_ = 1 2 1 1 6

Pour l'exemplP. d on aura :

? ,,

5 - 1 0 carr�s 3 6 1 8 carres Intervient alors la 11otio11 de simplification.

On verra pour

0

que 6 c'est : 3 blocs de 2 carrés chacun ou : 2 blocs de 3 carrés chacun

Ou : 1 bloc de 6 carrés

et 1 2, c'est

6 blocs de 2 carrés

18 10

ou : 4 blocs de 3 carrés [ilili]

�o

� I l 1 2

GBE]

1 e 9 ¹⁰

ou 2 blocs de 6 carrés

ffi±Hl :�

On aura donc : 16-2 c'est 3 (blocs) ou 2 (blocs) ou

4 (

blocs)

4 (

blocs) 2

l

Pour

@ ,

la seule possibilité c'est : 2 blocs de 2 carrés pour l'ancienne aire et : 5 blocs de 2 carrés pour la nouvelle.

Pour

©,

on aura : 6 blocs de 2 carrés pour l'ancienne aire et : 1 0 blocs de 2 carrés pour la nouvelle.

ou 3 blocs de ⁴ carrés pour l'ancienne aire et : 5 blocs de 4 carrés pour la nouvelle.

1 1 7

Pour

(rD,

la seule possibilité c'est : 5 blocs de 2 carrés pour l'ancienne aire ei: : 9 blocs de 2 carrés pour la nouvelle.

On aurn alors les équivalences suivantes : Pour b :

1 15-

c'est équivalent à �

Pour c : � c'est équivalent à

f

_{O ou f}

Pour d:

-fi

c'est équivalent à

t

Voici maintenant .quelques présentations visuelles sur le théorème de Pytha­

gore :

La première représentation A est faite à partir d'un triangle rectangle isocèle.

L'élève peut, d'une part, compter les carrés des côtés des triangles et voir qu'ils sont égaux ; d'autre part, il peut prendre une paire de ciseaux et décou­

per les triangles pour constater la même égalité par superposition.

1 1 8

Pour la deuxième représentation (B), il peut également visuaiisei' l'équivalence des iriangles A, [3, C, D dans les deux dessins, constater que le carré envelop­

pnnt est, dans les deux cas, de 7 carrés de côté, donc identique. �;eule la dis­

position des triangles est différente. L'équivalence des surfaces hachurées se fait par déduction; c'est un "palier + ·1 ".

La troisième dérnonstrntion a été rapportée des l ndes par Pierre CE R ESO LE!

On construit donc classiquement le carré sur le petit côté mais sur le grand, en abscisse, on le construit au"dessus et non au-dessous. A partir de là, on décale le triangle (a) en (a') et l'on peut construire le même triangle (a) deve­

nu (a") sur l'ordonnée du carré. Si l'on admet qu'au sommet du petit carré (en haut à gauche) et au sommet du grand carré (en haut à droite), il existe des pivots autour desquels les triangles (a') et (a") peuvent tourner (cf. fig.

en traits pleins), on reconstitue le grand carré sur l'hypothénuse.

Voici donc trois itinéraires intéressants. Le palier suivant (+ 1) consiste à tout vérifier par des découpages et des superpositions. Le "palier + 2" con­

duira à la vérification par le calcul classique (3 au carré + 4 au carré = 5 au carré), avec retour au dessin découpé s'il y a doute. L'acte final est donné par l'élève qui est capable, par le calcul, de généraliser l'emploi sur n'importe quelles dimensions de triangles.

L'itinéraire suivant résidera en un travail destiné à comprendre le problème à partir de l'hypothénuse (5 au carré - 3 au carré = 4 au carré), etc ...

Comme nous venons d'aborder, par le biais du théorème de Pythagore, la notion de surface, regardons brièvement une présentation concernant la notion d'exponentielles.

Pour aborder le problème, nous partons de l'histoire bien connue du jeu d'échecs et de la récompense accordée par le roi à son vizir sous la forme de 2 grains de blé sur la 1ère case du jeu avec le double de la mise à chaque case.

L'utilisation de la machine à calculer de poche permet aux élèves, après qu'ils ont lu la légende, racontée sur la première fiche, de calculer le nombre de grains sur chaque case jusqu'à 2 à la puissance 19 (524.288 grains) pour une machine à 6 chiffres et jusqu'à la puissance 26 (67.108.864) pour une machi­

ne à 8 chiffres. Le total cumulé peut également être donné jusqu'à la puissan­

ce 19 (524.286) pour 6 chiffres et jusqu'à la puissance 25 (67.108.862) pour 8 chiffres.

119

La fiche fournil les indications suivantes :

Case

1ère 2ème 3ème 4ème

·le nombre de grains sur la 64ème case (hors machine) 1 8 446 744 07:l 709 551 6 1 6

·le nombre de grains cumulés; pour la même case : 36 893 488 1 4 7 4 1 9 1 03 230

Grains Grains Grains Grains Grains Grains par cumu- Case par cumu- Case ^par

cumu-case lés case lés case lés

2 2 5ème 32 62 9ème 512 1 022

4 6 6ème 64 126 10 1 024 2 046

8 14 7ème 128 254 ¹¹

--16 30 8ème

- -

12

^--

--( s u ⁱ t e )

etc • • • etc . . .

Une fois tous ces chiffres sous les yeux (palier + 1 ), on passe au "palier + 2" :

1ère case 2 2ème case 4

==--=-�==

3ème case 8

2ème case 4 4ème case 16

=---,== --==-=-6ème case

puis au "palier + 3" :

9ème 512

1ère

lOème 14ème

On passe au "palier + 4" :

1 20

2ème case ⁴ 3ème case 5ème case

6ème 64

========= . �

9ème 512

3ème case 4ème case 7ème case

Les cases en blanc sont à remplir par les élèves. Cela fait partie d'un palier + 1 c1 l'intérieur d'une série. Nous ne donnons pas ['ensemble de l'itinérairr..

Après cette première partie intervien t une fiche de consolidation (effel curnu­

latif-répétiti1) assortie d'un + 1 (palier + 5). Voici ce qu'on peut y voir :

Y, pris ⁴ foiB comme facteur Y,.Y,.Y,.Y, ^2-4 16 ¹ Y,.Y,.Y, ^-3

Y, pris 3 fois comme fActeur 2 8

Y, .Y, ^-2 I.

Y, pris ² fois comme facteur 2 4

Y, ^-1

Y, pris ¹ fois comme facteur 2 2

2 pris 0 fois comme facteur ²⁰ 1

2 pris 1 fois comme facteur ^{2 2} 2

2 pris ² fois comme facteur 2 . 2 ²² 4 2 pris 3 fois comme facteur 2 .2. 2 z^{3 8}

2 pris 4 fois comme facteur 2 .².². 2 2⁴ 16 2 pris 5 fois comme facteur ². 2 . 2 . 2 . 2 2⁵ 32

etc • • • etc • • • etc . etc .

L'objectif de cette fiche est de créer un incident de rupture et une compré­

hension visuelle du phénomène. L'élève verra que si l'on remonte la 4ème colonne, celle de droite, chaque nombre est divisé par deux pour donner le suivant. Dans la colonne précédente, la 3ème, on voit qu'on a soustrait 1 à chaque exposant mais cette notion a déjà été travaillée dans les fiches précé­

dentes; ce n'est qu'une révision sous une nouvelle présentation.

L'élève verra également que 2 : 2 = 1. Voilà pourquoi 2^°= 1 . Ensuite, 1 : 2 = 1/2 et 1/2 : 2 = 1/4 mais 1/2 x 1/2 = 1 /4 qu'il peut vérifier avec les exercices sur les fractions ordinaires (cf. pp. 1 1 4 à 1 18).

Un questionnaire accompagne ces fiches et permet la vérification de la com­

préhension.

On reprendra ensuite le tout avec 3 comme facteur assorti de blancs dans la progression (incident de rupture et palier + 1), puis 5 et 10 auxquels on pourrait adjoindre 7, chiffre en général peu "travaillé" avec une fréquence d'apparition inférieure à celle des autres chiffres.

On profitera des fiches de révision pour insister sur le fait que le nombre 1 peut être re�résenté par 2� 3� 5� etc ... On aura ainsi des séries analogues à 2^° x 2³ = 2 car 1 x 8 = 8

i :

2^°= 2³ car 8 : 1 = 8

2^° x 2^° = 2^° car 1 x 1 = 1 2^° : 2^°= 2^° car 1 : 1 = 1 etc ...

121

Passons maintenant à la rubrique 1.10, p. 1 09 : Le calcul mental Voici quelques propos à son sujet.

La conception du calcul mental réunit des avis fort divers. Pour les uns, il est inutile à notre époque de machines à calculer; pour d'autres, il reste un moyen de faire marcher la "machine corticale" à un certain rythme, tout comme on entraîne un muscle ou que l'on développe son souffle.

Nous admettons volontiers que le calcul oral est vide de pensée, de réflexion (et encore faudrait-il discuter le terme "réflexion") et doit tout simplement devenir une machine impeccable dont les deux qualités essentielles sont une exactitude absolue _{et une} instantanéité des réponses. En quelque sorte, rapi­

dité et concentration.

Il découle de cette manière d'envisager le problème que nous prendrons tou­

jours les nombres pour eux-mêmes, sans les rattacher à une unité quelconque, sans les insérer dans un raisonnement particulier.

Cette optique est cependant fondée sur une constatation : dans la vie prati­

que, lorsque vous devez calculer mentalement, est-ce la pensée qui vous arrête ou tout simplement un mécanisme spécial que vous devez utiliser et que vous n'avez pas encore maîtrisé ? Examinez bien vos "facteurs de freinage" et vous verrez que c'est le second terme qui devient la réponse évidente.

En ce qui concerne l'entraînement progressif, nous pouvons également adop­

ter un point de vue particulier. En général, d'après les programmes, la progres­

sion est marquée par l'exercice de nombres qui croissent de degré en degré scolaire.

Or, l'expérience montre que cet ordre de difficulté est plus apparent que réel.

Un programme construit sur cette base retarde un fait essentiel : le moment où le sens de la décomposition est non seulement compris, mais surtout assi­

milé au point de devenir un véritable réflexe.

Il retarde, en outre, le progrès dans la rapidité d'exécution qui, elle aussi, doit tendre vers l 'instantanéité.

Les observations faites pendant de nombreuses années dans divers degrés et auprès d'élèves de niveau intellectuel fort divers (l'intelligence dans le sens d"'aptitude à raisonner" n'a rien â voir dans ce type d'exercice qui lui, est d'ordre purement mnésique) sont venues étayer ce que nous avançons. De plus, l'intérêt est constamment renouvelé, en particulier par la satisfaction qu'éprouve l'enfant à calculer toujours plus vite et toujours plus juste.

De quelques modes d'application

Le calcul oral est un magnifique moyen de concentration. Pour atteindre ce but, la leçon doit être quotidienne. Elle sera brève : 10 à 12 minutes au maxi­

mum !

1 22

Au débu t de lc1 matinée, elle aura une influence heureuse sur Ir. travail ulté­

rieur car l'élève est immédiatement plongé dans une activité ini:ense c�t les efforts déployés pour mettre en marche le men l:al sont analogues au réchau f­

fement d'un moteur dont le rendement optimal n'est atteint que si sa tr.rnpé­

rn l:ure augmente dans une certaine mesure.

La "lecon" doit se dérouler à un rythme accéléré. Le maître, animateur r1tten­

tif, mè.ne le jeu et maintient le rythme. Il "pique" partout dans la classe, ausr.i bien parmi les "forts" que parmi les "moins forts", ne laissant oucun répit.

L'individualisation est réalisée par le choix des paliers de difficulté pour cha­

cun. Ce point est à respecter impérativement, sinon le rythme baisse immédia-·

tement. Or, le rythme est un puissant moteur d'intérêt.

l i est également bon de conserver le même schéma, en passant des mécanismes de base (tables d'addition, de soustraction, de multiplication et de recomposi­

tion) à des exercices plus particuliers, visant à l'attention ou se rattachant à des notions en cours d'étude (fractions, ou pour cent, par exemple).

On accélère l'assimilation et surtout on la consolide en exigeant de l'élève qu'il calcule à haute voix, tout simplement parce que l'articulation phonique fait appel à une mémoire musculaire dont on parle fort peu mais qui est cepen­

dant bien réelle et importante.

La formulation revêt, à ce propos, une importance très grande. Ainsi, tout d'abord donnés de façon complète, les calculs pourront graduellement être abrégés mais ils ne devront jamais disparaître complètement.

Voici quelques exemples : A. Trois fois dix-sept ?

L'élève dira a) 3 fois 1 0 : 30; 3 fois 7 : 21 ; 30 + 21 : 51.

puis :

enfin b) 3 fois 10 : 30; 3 fois 7 : 21; 51.

c) 30 21 51.

B. Quarante-cinq plus quinze ?

D'élève dira : a) 45 + 1 0 : 55; 55 + 5 : 60.

puis : b) 45 + 10 : 55; + 5 : 60.

enfin : c) 45 55 60.

Cette répétition constante, sous forme de "drill", est un gage de succès.

Les livrets

A. Les additions : Le travail des terminaisons est d'un grand intérêt pour créer la rapidité.

Remarque : On entend par terminaison le chiffre que donne l'addition de deux nombres quand on ne tient pas compte des dizaines.

1 23

Exemples :

Palier + 1 (féu:;i le : sans dizaines) : 2 + 3 = Eî 4 + 1 = 5 fi +· 2 cc 8 Palier + 2 ( plus d i f ficile : avec dizaines) :

3 + :3 = fl 4 ·1- :J = 7 etc.

6 + 4 = ... 0 / + 5 = ... 2 9 + 6 '" ... 5 8 + 7 "" ... 5 6 + / = 3 Palier + 3 (deux ch iffres par nom bre) :

27 + 35 = . . . 2 1 3 + 1 8 = . . . 1 54 + 96 �, . . . 0 4 7 + 26 = ... :1 29 + 39 = ... 8 etc .. .

B. Les soustractions : On exercera d e la même manière les soustractions ! Exemples :

Palier + 1 (faci le : sans dizaines) :

9 -3 = 6 7 - 4 = 3 8 - 6 = 2 5 - 4 = 1 7 -2 = 5 etc.

Palier + 2

1 0 - 4 = ... 6 1 1 - 5 = ... 6 1 8 - 9 = . . . 9 1 2 - 7 = . . . 5 1 5 - 8 = 7 etc ...

Palier + 3 ( deux chiffres par nom bre) :

65 --:- 66 = ... 9 33 - 28 = ... 5 74 - 68 = . . . 6 3 1 --' 1 9 = ... 2 57 - 39 = ... 8 etc ...

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