3.3 Résultats
3.3.3 Évolution temporelle du spectre
Nous venons de voir qu’en régime impulsionnel, les valeurs de la constante de diffusion D diffèrent sensiblement entre l’échantillon le plus fin et l’échantillon le plus épais. Or, D est une grandeur intensive et ne devrait donc pas dépendre de l’épaisseur du milieu.
Il a été montré que le libre parcours moyen élastique dépend de la fréquence (cf. cha- pitre 2) [45]. En l’occurrence, sur l’intervalle 2-4 MHz, il présente un pic de résonance à 2,8 MHz. Le libre parcours moyen de transport l∗ se calcule à partir du libre parcours
moyen élastique le et de la section efficace de diffusion d’une tige. Ainsi, sans même
connaître la vitesse de transport ctr, il est raisonnable de penser que la constante de dif-
fusion peut dépendre de la fréquence. Par conséquent, il est tout aussi raisonnable que les constantes de diffusion mesurées en régime impulsionnel diffèrent, car les spectres des signaux transmis sont différents.
Notons ici que les signaux tirés n’étaient pas les mêmes pour les deux épaisseurs étudiées. Le signal émis était un train d’ondes de deux périodes pour l’échantillon le plus fin et de trois périodes pour l’échantillon le plus épais afin de transmettre suffisamment d’énergie. Par ailleurs, le milieu est dispersif et agit comme un filtre dont la fonction de transfert dépend de son épaisseur. Etayons ce dernier point.
Sans tenir compte de nos conditions aux limites, dans un milieu infini, à une distance L de la source, la densité spectrale de puissance devrait être proportionnelle à exp (−τD/t),
avec τD = L2/D, le temps de diffusion, ou temps de Thouless. Si D observe un maximum
à la fréquence f0 sur notre bande de fréquences considérée, alors τD devrait être minimal
à cette même fréquence, et la densité spectrale de puissance (DSP) devrait y présenter un pic. Ce pic devrait être de moins en moins prononcé à mesure que le temps t devient supérieur à τD. En effet, pour t ≫ τD, la DSP est proportionnelle à 1 − τD/t → 1
indépendamment du temps et de la fréquence.
L’effet de filtrage lié à la dispersion du milieu devrait donc être très fort aux temps courts, mais disparaître aux temps supérieurs au temps de Thouless τD. Au-delà de ce
temps, le spectre du signal transmis doit correspondre au spectre du signal initial. Le temps de Thouless peut être évalué à l’aide d’une estimation a priori de la constante de diffusion D selon l’équation 3.11 :
Dmax = l ∗
maxctr
2 . (3.22)
En prenant l∗
max = 6, 5 mm et ctr = 1, 5 mm/µs (Dmax = 4, 9 mm2/µs), on trouve
τD = 430 µs pour l’échantillon d’épaisseur 46 mm et τD = 128 µs pour l’échantillon
d’épaisseur 25 mm. L’effet de filtrage lié à la réponse du milieu se fait donc ressentir sur un temps plus long dans le cas du milieu le plus épais. Nous avons enregistré environ 300 µs de signal. Le régime où le spectre est stabilisé ne devrait pas être atteint dans le cas de l’échantillon le plus épais. Il devrait l’être, par contre, dans le cas de l’échantillon le plus fin.
C’est justement ce que montre la figure 3.13, qui présente l’évolution de la densité spectrale de puissance des signaux transmis. On y a représenté la densité spectrale de
3.3. Résultats 87 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Fréquence (MHz) tbal t bal + 25 µs t bal + 50 µs tbal + 75 µs t bal t bal + 50 µs t bal + 100 µs t bal + 125 µs L = 46 mm L = 25 mm
Figure 3.13 – Densité spectrale de puissance de l’onde transmise, calculée sur des fenêtres de 25 µs,
et moyennée sur les 180 réalisations de l’onde transmise en configuration source et récepteur équivalents face à face. tbal est le temps d’arrivée du balistique. Il vaut environ 17 µs pour l’échantillon le plus fin, et 31 µs pour l’échantillon le plus épais.
puissance moyennée sur les 187 réalisations de l’onde transmise en configuration source et récepteur équivalents face à face. Elle est calculée à différents temps, sur un intervalle de 25 µs. Le temps tbal = L/c correspond au temps d’arrivée du balistique. Il vaut environ
17 µs pour l’échantillon le plus fin et 31 µs pour l’échantillon le plus épais.
Les spectres évoluent bien avec le temps, mais ils n’évoluent pas à la même vitesse. En effet, il faut attendre 75 µs après le temps d’arrivée du balistique pour voir se figer la densité spectrale de puissance dans le cas de l’échantillon le plus fin. Comme attendu, ce temps est supérieur pour l’échantillon le plus épais, puisque pour cet échantillon, la densité spectrale de puissance se fige à partir 125 µs. Ceci explique le fait que nous ayons trouvé des valeurs différentes : la constante de diffusion D mesurée en régime impulsionnel est une valeur moyennée en fréquence, et les composantes fréquentielles n’ont pas le même poids, au même instant, dans les deux échantillons du fait de leur épaisseur différente. Les signaux diffusés à travers l’échantillon le plus épais présentent, à un instant t donné, un spectre plus étroit et plus piqué autour de 2,8 MHz (fréquence pour laquelle l∗ est plus
élevé). Il est alors logique d’avoir obtenu une valeur de D apparemment plus grande pour cet échantillon, si l’on suppose que la vitesse de transport reste la même, indépendamment de la fréquence.
Les résonances individuelles des tiges induisent des variations de la densité spectrale de puissance avec le temps. Le rythme auquel se font ces variations dépend de l’épaisseur du milieu. Ces évolutions du spectre, avec le temps, justifient de s’intéresser maintenant aux valeurs de la constante de diffusion dans un régime fréquentiel ou quasi harmonique. Comme pour le libre parcours moyen élastique, peut-on observer, pour la constante de diffusion, une dépendance vis-à-vis de la fréquence ?
50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 Temps (µs) W 2 (mm 2 ) f=2,8 MHz f=3,45 MHz 50 100 150 200 250 300 0 500 1000 1500 2000 2500 Temps (µs) W 2 (mm 2 ) f=2,8 MHz f=3,45 MHz (a) (b)
Figure 3.14 – Extension latérale W2(t) du halo de diffusion en régime quasi harmonique, pour deux
fréquences (2,8 MHz et 3,45 MHz), pour les échantillons d’épaisseur (a) 25 mm et (b) 46 mm.