Racines piagétiennes
Les recherches anglophones sur l'apprentissage de la mesure se réfèrent massivement à la psychologie génétique (Piaget, Inhelder & Szeminska, 1948/1960), que ce soit pour enrichir, critiquer ou revisiter ses apports sur la conceptualisation des grandeurs géométriques (longueur, aire, volume) et des opérations de mesure s'y afférant.
Dans cette approche, la mesure est un concept qui se construit progressivement, en admettant des étapes qui sont repérables dans les actions des sujets observés en situation de réaliser des comparaisons directes, puis indirectes entre des objets. Plus précisément, la mesure, selon Piaget, met en jeu deux notions (a) la perception de l'espace (ou la grandeur d'un objet) comme étant subdivisible et (b) la délimitation d'une portion de cet espace comme une unité réitérable, avec la propriété d'inclusion des unités continues dans les opérations d'itération subséquentes. Cette articulation, dans laquelle la conservation de la grandeur se développe implicitement, permet une connaissance opératoire de la mesure pour le sujet cognitif, qui se distingue de l'application de procédures standardisées, associées à la mesure d'un objet particulier.
Parmi les références fondatrices souvent citées, on trouve tout d'abord les recherches de Carpenter (1975) et Carpenter & Lewis (1976) sur des enfants de grade 1 et 2, montrant qu'à cet âge les problèmes concrets de mesurage de la longueur d'un objet à l'aide de différentes unités de mesure ne facilitent pas la compréhension de la relation inverse entre la grandeur de l'unité et le nombre d'unités mesurant. En ce sens, ils tendent à confirmer l'hypothèse piagétienne que la conservation des quantités, vers 7 ans, est un préalable à l'introduction, dans l'enseignement, d'opérations de mesurage d'un même objet à l'aide de différentes unités. De leur côté, Hiebert (1981) et Petitto (1990) reconnaissent que la conservation de la longueur et la transitivité sont des notions importantes pour rendre le concept de mesure opératoire, mais ils défendent l'idée qu'elles ne sont pas toujours des préalables nécessaires.
Selon eux, tous les problèmes de mesurage utilisés dans l'enseignement n'appellent pas la même "demande cognitive" ; certains font appel à des capacités de raisonnement logique ("logical reasoning ability") reposant fortement sur la conservation et la transitivité, tandis que d'autres problèmes peuvent être résolus par des techniques ("information-processing ability") qui n'exigent pas toute la construction conceptuelle des invariants opératoires de la mesure. Ils en concluent que le seul modèle cognitif piagétien n'est pas adéquat pour penser l'enseignement de la mesure. Cette éventualité a fait place dans les années 90 à un vaste débat sur la place des instruments tels que la règle et les unités de mesure standards par rapport aux choix d'enseignement qui favorisent le recours à des unités de mesure arbitraires, en premier lieu. Boulton-Lewis, Wilss & Mutch (1996) constatent que les enfants savent utiliser la règle pour donner une mesure et comparer des objets, avant d'être capables de mettre en œuvre une stratégie avec des unités non standardisées. Ils suggèrent qu'une emphase précoce sur des raisonnements à l'aide d'unités non standardisées dans le
124 L'essentiel des références provient d'Australie et des USA, et, dans une proportion très faible, du Royaume-Uni.
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but de montrer l'intérêt des conventions peut être contre-productif par rapport au développement des concepts de mesure. Cette vision est, d'une certaine manière, relayée par les travaux de Nunes, Light & Mason (1993), qui sont très critiques par rapport à des choix d'enseignements fondés seulement sur des approches développementales, et optent pour une perspective vygotskyenne. Ces auteurs mettent en avant le rôle du langage et des outils culturels, pour montrer comment, avec des enfants âgés de 6 à 8 ans, en situation de comparer deux segments placés dans des lieux différents, l'usage de la règle s'avère bien plus robuste pour construire un raisonnement, que la "réinvention" de la pratique du report d'une ficelle.
De nombreux autres auteurs ont alimenté la controverse, mais nous n'irons pas plus loin. Ce tableau suffit à faire comprendre à quel point les recherches peuvent être fragmentées et contradictoires, selon les époques et selon une emprise plus ou moins forte du modèle développemental piagétien, qui fait toujours référence à l'heure actuelle.
Tendances actuelles
L'une des justifications récurrentes des recherches anglophones125, sur la mesure au niveau du primaire (grade 1-5), tient dans le fait que les méthodes d'enseignement se concentreraient sur des procédures incluant l'usage implicite de la règle graduée (Kamii &
Clark, 1997, repris par Stephan & Clements, 2003) et de formules de calculs dans le cas des aires et des volumes (Battista & Clements, 1996), en négligeant des étapes qui participent à construire une signification conceptuelle de la mesure. La construction de l'unité ("unitizing") dans l'espace géométrique, en lien avec les structures numériques, est présentée comme la clé de voûte de la conceptualisation des opérations de mesure, qui, en retour, offre un potentiel pour établir des connexions entre les différentes branches des mathématiques (nombres entiers, fractions et proportions nombres réels et géométrie), selon Reynolds &
Wheatley (1996).
Les travaux de Steffe & Cobb (1988), Steffe (1991) et Cobb & Wheatley (1988), qui reprennent la perspective piagétienne de la construction du nombre (Piaget, 1941/1952), font office de références incontournables pour envisager les relations entre espace et nombre, en considérant que les opérations sur les quantités discrètes (collections) sont étendues aux quantités continues :
"My contention is that although the involved experiences may differ, the elementary operations that generate measurable quantities do not differ from the operations that generate countable quantities, and from this perspective, counting is a special form of measuring." (Steffe, 1991, p77)
Les opérations cognitives développées par les enfants dans le cas de la mesure des longueurs semblent jouer un rôle prototypique dans la conceptualisation des grandeurs, par une abstraction des actions de subdivision et d'itération requises pour mesurer un segment
125 Nous n'avons retenu que quelques références fréquemment citées. Beaucoup d'entre elles sont tirées de revues internationales (JRME, ESM, JMB, C&I, etc.) mais les recherches qu'elles relatent ont souvent fait l'objet d'une prépublication dans les Proceedings of the Conference of Psychology of Mathematics Éducation.
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de droite (Lehrer, 2003). Nombre de contributions s'alignent sur un ensemble d'hypothèses communes, que Barrets & Clements (2003) résument comme suit :
"To summarize, children's knowledge and strategies for linear measurement are complex, depending primarily on a network of cognitive operations that includes (a) unit attribute relations, (b) iteration of units and space filling, (c) origin as zero point, (d) partitioning and additivity, (e) identical units and standardization, and finally, (f) transitivity and conservation." (Barrets & Clements, 2003, p478)
Il s'agit ensuite de décliner les spécificités des stratégies des enfants à propos de cas plus complexes, tels que la mesure des longueurs de lignes brisées ou la mesure des périmètres de polygones (Barrets & Clements, 2003), mais également sur les autres grandeurs géométriques (aires : Reynolds & Wheatley 1996 ; Wheatley & Reynolds, 1996 ; Battista et al., 1998 ; Outhred & Mitchelmore, 2000 ; volumes : Battista & Clements, 1996 ; Battista, 1999). Le cas des aires et des volumes est notamment marqué par les problèmes de contrôle de la contiguïté (pas de vide, pas de chevauchements) pour remplir l'espace dans les opérations de pavage, ainsi que par les stratégies d'énumération des unités dans l'espace 2D ou 3D. Signalons aussi quelques études sur les angles (Mitchelmore & White, 2000) qui proposent un modèle cognitif de construction du concept d'angle, en s'appuyant sur des classifications d'objets physiques présentant des secteurs angulaires, et non pas sur des procédures de mesurage, comme pour les autres grandeurs. Le concept d'angle serait donc d'abord une affaire d'abstraction des caractéristiques de différents objets (rayons d'une roue de bicyclette, paire de ciseaux, pente d'une montagne, etc.) et situations physiques (ouverture d'une porte, d'un éventail, etc.) avant qu'il soit question de procéder à sa mesure.
Un exemple : le cas du pavage du rectangle conduisant à la mesure des aires
À titre d'exemple, mais aussi parce que nous développerons plus particulièrement les enjeux de la mesure de l'aire par la suite (cf.- Chapitre 6), nous détaillons la recherche de Outhred
& Mitchelmore (2000), qui ont étudié les stratégies de pavage et de dénombrement d'unités dans un rectangle, sur des cohortes d'élèves (grade 1-4) qui n'ont pas encore reçu d'enseignement spécifique sur les aires. Après avoir rappelé que la formule du calcul de l'aire prend son origine dans l'action de recouvrir physiquement un rectangle avec des unités carrées, et que cette action suggère un processus additif (pièces posées l'une après l'autre), ces auteurs se proposent d'identifier une séquence développementale permettant de passer progressivement à une structure multiplicative.
Tout d'abord, ils pointent le problème des tâches trop fortement préstructurées126, telles que les pavages de surfaces de type "remplissage" à l'aide d'unités présentes en nombre au moins égal à celui qui est nécessaire. Ils différencient aussi le pavage avec des unités carrées en bois qui ont une certaine épaisseur et qui, de fait, suppriment les chevauchements, et le pavage avec des unités en papier, plus aléatoire, mais où l'élève doit prendre conscience de la contrainte de non-chevauchement. Selon eux, dans ces cas-là, la structure de l'arrangement des pièces est inhérente au matériel et n'est pas le fait d'une connaissance de
126 Ce que Brousseau (1986) nomme "l'effet Dienes".
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l'élève. Ils avancent que les nombreuses activités de pavage qui sont proposées dans l'enseignement ne suffisent pas à comprendre les enjeux de la structure lignes / colonnes du quadrillage d'un rectangle, qui ne va pas de soi ("self-evident"), et leur dispositif de recherche tend à le confirmer, en ciblant des constructions de pavage, à partir d'une seule unité donnée ou représentée. Nous donnons ci-dessous un bref compte rendu de la recherche (figure 4.A) :
Figure n° 4. À : Aperçu de la recherche d'Outhred & Mitchelmore (2000)
(a) Le dispositif expérimental (interview chercheur – élève) confronte les élèves à deux ou trois problèmes de pavage, de difficulté progressive :
- la 1re tâche consiste à reproduire par le matériel puis par le dessin un arrangement de 3x4 carrés. Le but est de montrer le lien entre l'arrangement matériel et sa représentation.
- la 2e tâche consiste à déterminer combien de carrés unités peuvent être contenus dans un rectangle dessiné (4x2), sachant qu'un seul carré unité est mis à disposition (côté 2cm, en carton). Le but est d'engager des procédures de réplication de l'unité - la 3e tâche (dont la proposition est conditionnée à la réussite de la 2e tâche) consiste à déterminer combien de carrés unités peuvent être contenus dans un rectangle dessiné (6x5), sachant qu'un seul carré unité (côté 1cm) est dessiné au voisinage du rectangle. Le but est d'engager des procédures de mesure des côtés de l'unité pour la reporter dans le rectangle.
(b) Cinq niveaux de stratégies employées par différentes proportions d'élèves : -niveau 0 : représentation de pavage incomplet ou chevauchantconcentration sur les côtés ou dans les angles du rectangle.
-niveau 1 : représentation d'un pavage primitif toute la surface est couverte sans chevauchements, mais l'organisation des unités n'est pas systématique. Les unités peuvent être distordues.
-niveau 2 : représentation du pavage construit à partir de l'unité même nombre d'unités sur chaque ligne et sur chaque colonne ; la taille de l'unité dessinée est déterminée à partir de l'unité donnée (par estimation ou manipulation) sans mise en relation avec les dimensions des côtés. De l'avis des auteurs, le matériel préstructure la tâche et on ne peut affirmer que la ligne est perçue comme ayant toujours le même nombre d'unités.
-niveau 3 : représentation de pavage construit par la mesure une dimension du rectangle est utilisée pour déterminer le nombre d'unités dans chaque ligne, et l'autre, pour déterminer le nombre d'unités dans chaque colonne. L'itération des lignes et colonnes est parfois attestée par une construction partielle du quadrillage.
-niveau 4 : pavage implicite et solution par le calcul le nombre d'unités est calculé (multiplication ou addition répétée) à partir de la mesure du côté de l'unité et des mesures des deux dimensions du rectangle, sans dessin. La structure "quadrillage" est considérée comme conceptualisée.
Enfin, des invariants opératoires sont dégagés pour la conceptualisation du pavage du rectangle :
P1 : couverture par les unités sans chevauchements ni trous.
P2 : alignement selon un arrangement avec le même nombre d'unités dans chaque ligne.
P3 : détermination du nombre d'unités de chaque ligne et du nombre de lignes à partir des longueurs des côtés du rectangle.
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P4 : le nombre d'unités dans le pavage rectangulaire peut se calculer à partir du nombre d'unités de chaque ligne et de chaque colonne.
P5 : la longueur d'une ligne spécifie le nombre d'unités de longueur qu'elle peut contenir
Selon nous, la décomposition des différents éléments qui entrent en jeu dans la construction du processus multiplicatif pour calculer l'aire est tout à fait intéressante. Comme le souligne la synthèse de Perrin-Glorian (2002a), cette recherche peut ne pas être vue comme seulement une approche cognitive, dans le sens où elle met aussi en relation des catégories de tâches soumises expérimentalement aux sujets, qui pourraient être lues du point de vue de l'enseignement en termes de type de tâches, admettant des variables didactiques. Ainsi, se poser la question de ce qui change d'un problème à l'autre en termes de techniques possibles et de notions mathématiques sous-jacentes est tout à fait possible, de même que ces problèmes peuvent aussi être comparés à ceux qui sont utilisés dans l'enseignement ordinaire. Les retrouve-t-on ? Sous quelles formes ? À quel degré ? Cette recherche tend à montrer que la relation entre le nombre d'unités répétées dans une rangée et la subdivision de la longueur du côté correspondant dans le rectangle doit être explicitement désignée à l'élève, et on peut à juste titre se demander, du côté des gestes d'enseignements, ce qui est effectivement fait. De plus, en modélisant le cognitif possible des sujets à propos de classes de problèmes, ce type de recherche nous apporte des clés de lecture sur des formes de rapport au savoir127 observables sur certains élèves en particulier.
Toutefois, si les auteurs admettent que les réussites de niveau 3 et 4, fréquemment observées au grade 4, peuvent être liées à une fréquentation possible de structures quadrillées dans les activités de classe, ils ne considèrent pas, par exemple, les effets d'apprentissage internes à leur propre séquence de test. En effet, selon nous, un élève passant de la tâche 1 à la tâche 3 peut très bien apprendre de ses expériences successives. L'organisation des questions posées dans le test fait déjà système, produisant de l'autodidacticité.
Nous touchons là un des aspects problématiques de ce type de recherche qui vise seulement la construction de modèles cognitifs de l'apprentissage, en hiérarchisant les concepts en jeu et en discutant la progressivité des acquisitions. Les liens avec l'enseignement sont souvent évoqués, soit pour le décrier, soit pour proposer des modifications, mais la nature de l'enseignement reçu par les sujets enquêtés, préalablement ou parallèlement à l'expérience, n'est pas vraiment explorée. Par exemple, si on revient à la recherche d'Outhred &
Mitchelmore, la dernière partie de l'article discute les invariants opératoires mis au jour, en termes d'implications pour l'enseignement. Les auteurs mettent en avant l'importance du passage à la représentation à l'issue des activités de pavage, et avancent que si les élèves n'ont que des procédures "instrumentales" (sous-entendu : repérage à la règle) de la mesure des longueurs, ils ne reconnaissent pas le nombre lu sur l'instrument comme donnant le nombre d'unités carrées de 1 cm de côté, pour une dimension du rectangle. Ce postulat,
127 Nous avons évoqué dans le chapitre 1 que "le rapport au savoir" dans la théorie chevallardienne ne comprend pas de dimension cognitive, c'est-à-dire opératoire. Or, cette voie mériterait d'être explorée.
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intéressant et probablement fondé128, ne permet cependant pas de penser à quelles conditions un enseignement peut contrôler ce lien à établir. Cela reste l'une des principales limitations de ce type d'approche qui étudie les catégories de pensée du sujet pour lui-même, sans relation avec les possibles conditions d'émergence sociale et institutionnelle desdites catégories.
La prise en compte des interactions sociales dans le cadre d'une ingénierie
Certains chercheurs, dont P. Cobb nous apparaît comme le chef de file, se tournent vers des approches qui intègrent la présence d'outils culturels médiatisés dans le cadre d'interactions sociales comme des catalyseurs de la conceptualisation. Ainsi, les recherches de Stephan, Bowers, Cobb & Gravemeijers (2003), qui ont travaillé la mesure des longueurs au grade 1, dans une "ingénierie"129 longue, affichent une volonté évidente de se démarquer des études précédentes, en invoquant la convergence entre le développement cognitif et les processus d'interactions sociales dans lequel le sujet se trouve pris. Ces recherches, très conséquentes130, travaillent deux grandes focales : une théorie de l'apprentissage comme un processus social et individuel et l'étude du rôle des outils pour contribuer au développement des concepts de mesure chez l'élève.
D'un point de vue général, c'est d'abord une façon de revisiter par l’analyse des interactions sociales en classe, les apports d’une littérature massive sur les processus de conceptualisation piagétien étudiés en contexte individuel. Les concepts d'itération, accumulation, partition, relation tout/partie, charpentent la structure de la séquence expérimentale d'enseignement. Si on prête une certaine attention aux objets de recherche travaillés précédemment ou collatéralement par certains auteurs participant à cette recherche (voir Cobb & Wheatley, 1998 ; Steffe & Cobb, 1988), on se rend compte que les opérations de mesurage sur les longueurs sont ici le moyen de (re)travailler des préoccupations relatives à des objets mathématiques connexes, tels que le groupement/échange d'unités en base 5 puis en base dix, préfigurant le système de numération décimal par le travail de construction et de la coordination d'unités sur une distance, à voir comme un segment.
L'étude de Stephan et al. (2003) aboutit à la mise en place d'une structure numérique attestée par un travail sur les relations entre des nombres sur la droite numérique, apparaissant en fin de séquence. Cette structure est progressivement dévoilée dans le cadre de différents problèmes de mesurage de longueurs dans l'espace de la classe131 et dont les variables sont contrôlées par l'ingénierie afin de travailler les relations arithmétiques sur les nombres naturels.
128 Battista, Clements, Arnoff, Battista & Borrow (1998) soulignent aussi l'importance de la rangée vue comme une itération de l'unité, dans le cas d'arrangements de cubes en 2D et 3D.
129 Selon nous, on peut raisonnablement nommer comme cela le "design research cycle" que les auteurs décrivent, car il ne s'agit pas d'une simple expérience d'enseignement dont on évalue les résultats, mais bien d'un processus de recherche qui établit des trajectoires (cognitives) possibles d'apprentissage, se donne les moyens de construire un environnement censé aider les apprenants à y parvenir, et se nourrit des résultats pour faire évoluer un modèle.
130 Elles ont fait l'objet d'une monographie du Journal for Research in Mathematics Education (USA).
131 Ou méso-espace pour reprendre la classification de Berthelot & Salin (1992).
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(1) Itération
- mesure de la longueur du mur de la classe avec des pas ;
- représentation, au sol, des empreintes de pas par des bandes de scotch ;
- représentation des empreintes de pas sur des bandes de papier (par lot de 5 empreintes, puis 10) et mesure à l'aide de ces bandes.
(2) Accumulation
- mesure de la hauteur du mur de la classe avec des boîtes de conserve ;
- représentation des boîtes de conserve par des cubes emboîtables en barres de 10 et mesure en groupant dizaines et unités.
(3) Partition
- mesurer la longueur d'un meuble avec une bande graduée de 0 à 100, avec repères aux dizaines ; itération de la bande, comptage des dizaines et unités ; lecture du repère final ; - relations arithmétiques entre les nombres sur la droite graduée ; le nombre devient une entité abstraite.
C’est aussi, pour Stephan et al. (2003), l’occasion de mettre à l’épreuve une méthodologie de recherche ("design research cycle") destinée à capitaliser un corps de savoirs sur le rôle des outils (empreintes, bandes, cubes, etc.) qui supportent la production de significations nouvelles, avec l’étude du partage des prises en charge entre "design researchers" (qui incluent les enseignants intervenant pour mettre en œuvre l'ingénierie) et "learners".
Cette recherche, de par sa centration sur le développement des apprentissages dans le cadre
Cette recherche, de par sa centration sur le développement des apprentissages dans le cadre