2. L’actionneur d’entraînement
2.2. Étude du montage des céramiques
Comme cela a pu être évoqué dans l’étude générale des céramiques multi- couches, le comportement de l’actionneur d’entraînement ne sera pas le même selon le type de charge auquel il sera soumis. Mais quel qu’en soit le type, il est impératif de maintenir les contacts entre les différents éléments.
2.2.1. Montage sans précontrainte
C’est un cas un peu particulier, mais il doit être considéré car il simplifie gran- dement l’assemblage des éléments de l’actionneur.
Dans une structure de type Push-Pull, les céramiques sont alimentées de façon complémentaire : quand l’une s’allonge, l’autre se rétracte et vice versa. Le chrono- gramme de la figure 2.20 illustre l’alimentation d’une de ces céramiques. A tension nulle ou sous Vmax, le contact entre les céramiques et le bloqueur d’entraînement ne doit pas disparaître.
Quand il n’y a pas de charge, le problème ne se pose pas, le contact est toujours assuré, car la somme des tensions aux bornes des céramiques est égale à Vmax. Dans le cas où les céramiques ne seraient pas alimentées, les risques de mouvements relatifs existent cependant, notamment en cas de vibration.
Par contre, si un effort apparaît, une seule des deux céramiques le subit, l’autre se retrouvant alors « libre ». Il est donc nécessaire d’introduire entre les céramiques un élément élastique de faible raideur afin de maintenir la liaison.
La figure 3.2 illustre les différents états du fonctionnement de l’actionneur Push- Pull, dans le cas où les liaisons entre les céramiques et le bloqueur d’entraînement sont élastiques. Pour simplifier le raisonnement, l’écartement initial δ0 entre deux éléments est fixé à ˆu, la course maximale d’une céramique. L’état 0 correspond à l’état au repos, sans charge et sans alimentation. L’effet des ressorts est supposé négligeable.
L’initialisation de l’actionneur se fait à l’étape 1, durant laquelle la céramique 1 voit sa tension monter à ˆV. À l’équilibre, le bloqueur est déplacé de δ/2. Lorsque le bloqueur d’entraînement est activé, tout l’effort F de la charge est transmis, par l’intermédiaire du bloqueur, à la céramique 2 qui subit alors une légère contraction u2 et se charge électriquement à Q2, alors que la céramique 1 est légèrement relâ- chée. Les déplacements des céramiques sont comptés positivement dans le sens de leurs normales extérieures.
u2 = − F
Kc (3.2)
Q2 = −η F
Kc (3.3)
où l’on rappelle que Kc désigne la raideur de l’élément piézoélectrique en court- circuit.
Céramique 1 Céramique 2 Position au repos Alimentation céramique 1 Activation Bloqueur d’entraînement Tension maximale Céramique 2 Annulation Tension Céramique 1 Position finale du bloqueur après sa désactivation
Dans la phase 3, la céramique 2 est alimentée jusqu’à ce que sa tension atteigne ˆ
V. La déformation de la céramique 2 est donnée par :
u3 = η ˆV Kc −
F
Kc (3.4)
La course réelle de la charge, qui est calculée à partir du moment où le bloqueur est fixé sur la charge, correspond à :
∆u = δ3+ δ1 (3.5)
Or les déplacements effectués répondent aux relations suivantes :
δ2− δ1 = |u2| (3.6)
δ3+ δ2 = |u3| (3.7)
Par conséquent, la course réelle de la charge vaut :
∆u = η ˆV Kc −
2F
Kc (3.8)
Cette dernière relation montre qu’au-delà d’une certaine charge mécanique li- mite, l’actionneur ne peut plus déplacer la charge. Cette force limite est donnée par :
Flimite = 1
2η ˆV (3.9)
Le dernier état correspond au moment où le bloqueur d’entraînement est li- béré. Le jeu entre le bloqueur et les céramiques se rééquilibre, permettant à la céramique 2 de prendre son allongement maximal. Le cycle suivant démarre alors en se remettant dans la phase 1.
2.2.2. Montage avec précontrainte
Réaliser une précontrainte sur une céramique revient à lui appliquer, au mo- ment du montage, une déformation initiale, généralement en compression, tandis que la céramique est court-circuitée afin de laisser s’écouler les charges produites. Une autre méthode consiste à charger électriquement la céramique en régime d’en- castrement.
Considérons le cas où une déformation d0 est appliquée sur l’ensemble des céramiques, chacune subissant une déformation d0/2. L’ensemble fonctionne en respectant la relation :
où u1 et u2 représentent respectivement l’allongement total des céramiques 1 et 2 par rapport à leur forme au repos, c’est-à-dire sans contrainte et à tension nulle, avec la convention de signe définie précédemment. En désignant par u le déplace- ment du bloqueur d’entraînement par rapport à sa position initiale après la pré- contrainte, comme l’illustre la figure 3.3, les relations de déformations s’écrivent alors :
u1 = u −d0
2 (3.11)
u2 = −u −d0
2 (3.12)
Lorsque la déformation de la céramique 1 correspond à la précontrainte initiale (u1 = −
d0
2), le déplacement du bloqueur est nul. A partir du schéma électrique équivalent établi à la section 3.3.3., la figure 3.3 illustre le sens des déformations et le schéma équivalent général de la structure avec précontrainte.
Fig. 3.3: Schéma équivalent dans le cas d’une structure précontrainte
En appliquant les théorèmes classiques des circuits électriques, la relation à l’équilibre est la suivante :
0 = F1− F2− F + η(V2− V1) (3.13)
F1 = Kcu1 (3.14)
F2 = Kcu2 (3.15)
En combinant les relations 3.11 et 3.12 dans l’équation 3.13, les déformées propres aux céramiques s’écrivent :
u1 = F 2Kc − η 2Kc(V2− V1) − d0 2 (3.16) u2 = − F 2Kc + η 2Kc(V2− V1) − d0 2 (3.17)
La position réelle du bloqueur d’entraînement, donc de la charge, est définie par : u = F 2Kc − η Kc ∆V 2 avec ∆V = V2− V1 (3.18)
Cette équation permet de dire que ce type de montage se comporte comme une céramique dont la raideur est deux fois plus grande et dont la tension de « commande » varie entre −Vˆ
2 et + ˆ V
2, où ˆV est la tension maximale admissible sur une céramique. Il existe deux positions extrêmes que le bloqueur d’entraînement peut prendre. Cela signifie qu’il est possible de déplacer la charge d’une distance ∆umax donnée par :
∆umax = η
KcVˆ (3.19)
Afin de tirer profit de cette course maximale, il faut que le bloqueur d’entraî- nement soit activé lorsque V2 = 0 et V1 = ˆV, c’est-à-dire, quand il est à sa position maximale, et maintenu actif jusqu’à ce que V2 = ˆV et V1 = 0.
Comme dans le cas sans précontrainte, il existe une valeur de charge pour laquelle le déplacement sera nul. La force maximale vaut :
Fmax = η ˆV (3.20)
Soit un gain de 2 par rapport au cas sans précontrainte (c.f. relation 3.9). Cependant, rappelons que le maintien des éléments n’existe que si les céramiques restent « comprimées ». Dans le cas de la céramique 1, la résultante des forces qu’elle subit s’exprime par :
Fext→1 = F 2 − η V1+ V2 2 − Kc d0 2 (3.21)
En convenant de noter ¯V la tension moyenne (V1 + V2)/2, la céramique se désolidarisera des autres éléments (annulation de la force extérieure qu’elle subit) pour une charge limite définie par :
Plus la précontrainte est importante, plus la limite en charge est repoussée. L’alimentation définit également le niveau de la charge admissible, par la tension moyenne ¯V. Si l’alimentation est choisie de sorte que les tensions aux bornes des céramiques soient complémentaires, cette tension moyenne vaut alors :
¯ V = Vˆ
2 (3.23)
La charge limite est finalement donnée par :
Flimite = η ˆV + Kcd0 (3.24)
Ce type de montage est donc très avantageux par rapport au précédent car il permet de maintenir une charge deux fois plus importante, tout en offrant la même plage de déplacement à vide. Il est à noter que le doublement de la raideur grâce à la précontrainte rend l’actionneur beaucoup moins sensible aux vibrations.