Pour expliquer les équations de Maxwell je vais suivre les lignes directrices données dans le cours Méthodes numériques pour l’électromagnétisme donné par Victorita Do-lean à l’université de Genève en 2011 et ses notes de cours. Pour une étude plus poussée en électromagnétisme vous pouvez consulter [58, 64].
Le système d’équations de Maxwell établit principalement les faits suivants : Que la variation du champ électrique génère un champ magnétique (Loi d’Ampère), que la variation du champ magnétique génère aussi un champ électrique (Loi de Faraday), qu’une charge électrique crée un champ électrique (Loi de Gauss) et finalement qu’au-cune charge magnétique ne peut créer un champ magnétique (Loi de Gauss pour le magnétisme). Pour la suite on va noterdxetdσ les éléments infinitésimaux de volume et de surface respectivement et n le vecteur normal unitaire perpendiculaire à une surface donnée.
1.2.1 Loi de Gauss et loi de Gauss pour le magnétisme
La loi de Gauss est une relation qui relie la distribution de la charge électrique avec le champ électrique résultant. Le flux électrique D qui traverse une surface fermée S doit être égal à la charge électrique Q attrapée à l’intérieur de la surface, c’est-à-dire
Z
S
D·ndσ =Q. (1.2.1)
Parallèlement la charge dans le volume V délimité par la surface S doit être égal à l’intégrale de la densité de chargeρ, c’est-à-dire
Z
V
ρdx=Q. (1.2.2)
Si on applique le théorème de la divergence à l’équation (1.2.1), on a Z
V
∇ ·Ddx= Z
S
D·ndσ. (1.2.3)
Comme la formule (1.2.3) est valable pour n’importe quel volumeV et grâce à l’équation (1.2.2) on peut conclure que
∇ ·D=ρ. (1.2.4)
La formule (1.2.4) est connue comme la loi de Gauss pour l’électromagnétisme. Il y a aussi la formule équivalente pour le flux magnétique B, qui établit que le flux magnétique d’une charge magnétique attrapée par une surface fermée est toujours nulle,
Z
S
B·ndσ = 0. (1.2.5)
Ceci est vrai parce qu’il n’existe pas de monopole magnétique ou de charge magnétique.
Si on applique le théorème de la divergence à l’équation (1.2.5) on a que 0 =
Z
S
B·ndσ = Z
V
∇ ·Bdx. (1.2.6)
Comme l’équation (1.2.6) est valable pour n’importe quel volume V délimité par une surface quelconqueS on obtient laloi de Gauss pour le magnétismedans sa forme différentielle
∇ ·B= 0. (1.2.7)
1.2.2 Conservation de la charge électrique
Cette loi établit qu’une charge électrique ne peut pas être créée ni détruite. Le courant I dans un volume doit être nécessairement égal à la variation de charge dans le volume, c’est-à-dire
I =−dQ
dt . (1.2.8)
D’autre part, on a que le courant est le résultat des densités de courant J (charge par unité de temps) normale à la surfaceS,
Z
S
J·ndσ =I. (1.2.9)
SoitV le volume à l’intérieur de la surfaceS, si on applique le théorème de la divergence on a
I = Z
S
J·ndσ = Z
V
(∇ ·J)dx. (1.2.10) Si on utilise les équations (1.2.10) et (1.2.8) on obtient
dQ dt =−
Z
V
(∇ ·J)dx. (1.2.11) Si on utilise l’équation (1.2.2) on a
Z
V
dρ
dt +∇ ·J
dx= 0. (1.2.12)
Comme cette équation est vraie pour n’importe quel volume V on a l’équation de la conservation de la charge
dρ
dt +∇ ·J = 0. (1.2.13)
1.2.3 Loi d’Ampère
Cette loi exprime la relation entre le champ magnétique et le courant qui est produit par ce champ. La version originale de la loi trouvée par Ampère permet d’obtenir le champ magnétique associé à un certain courant dans le cas magnétostatique. La contribution de Maxwell était d’ajouter un terme de correction pour être cohérent avec la loi de la conservation de la charge (1.2.13). La loi d’Ampère originale établit que
la circulation du champ magnétique H dans une courbe fermée C est donnée par le courant If qui traverse la surface S (S est délimité par la courbe C).
Z
C
H·dl=If = Z
S
J·ndσ,
où dl est la direction infinitésimal à la courbe C et colinéaire à H, J représente la densité de courant libre dans la surface S (voir équation (1.2.9)). Si on applique le théorème de Stokes, on a la forme integrale
Z
C
H·dl = Z
S
∇ ×H·ndσ = Z
S
J·ndσ. (1.2.14)
Si on utilise le fait que l’équation (1.2.14) est valide pour n’importe quelle surface S on obtient la forme différentielle de la loi
∇ ×H=J. (1.2.15)
Si on applique l’opérateur de divergence à l’équation (1.2.15) on obtient que ∇ ·J = 0 (parce que∇·(∇×H) = 0) ce qui est en contradiction avec la loi de la conservation de la charge (1.2.13), sauf si ρ ne varie pas dans le temps, c’est pour ça que la loi d’Ampère n’est valable que pour le cas magnétostatique. La solution que propose Maxwell est d’ajouter un terme de co-réaction, qu’on appelle le déplacement de courant qui rend la loi d’Ampère plus générale. Avec cette correction, la loi (1.2.15) devient
∇ ×H=J+JD, (1.2.16)
avec JD = dDdt. La correction est maintenant cohérente avec la loi de la conservation de la charge (1.2.13). On peut vérifier ce fait si on applique l’opérateur différentiel ∇·
à l’équation (1.2.14),
0 =∇ ·(J+JD) =∇ ·J+ ∂(∇ ·D)
∂t =∇ ·J+dρ
dt, (1.2.17) qui est bien la loi de la conservation de la charge (1.2.13). La loi d’Ampère avec la modification de Maxwell devient
∇ ×H−∂D
∂t =J. (1.2.18)
1.2.4 Loi de Faraday
Un champ magnétique qui varie au cours du temps produit un champ électrique. Le champ électrique induit produit des courants et aussi un champ magnétique secondaire qui s’oppose à la variation du flux du champ magnétique initial, c’est à dire
Z
C
E·dl =−d dt
Z
S
B·ndσ. (1.2.19)
Si on applique le théorème de Stokes on trouve Z
C
E·dl = Z
S
∇ ×E·ndσ=− Z
S
∂B
∂t ·ndσ. (1.2.20)
Comme l’équation (1.2.20) est valable pour n’importe quelle surfaceS on obtient la loi de Faraday
∂B
∂t +∇ ×E= 0, (1.2.21)
1.2.5 Le système de Maxwell
Les équations (1.2.4), (1.2.7), (1.2.18) et (1.2.21) forment un système d’équations connu comme les équations de Maxwell.
ε∂E
∂t − ∇ ×H = −J, µ∂H
∂t +∇ ×E = 0,
∇ ·(εE) = ρ,
∇ ·(µH) = 0.
(1.2.22)
Les inconnus sont le champ magnétiqueHmesuré enA
m
, le champ électriqueEmesuré en V
m
, le champ d’induction électrique D mesuré en A·s
m2
et le champ d’induction magnétique B mesuré en V·s
m2
. Les données sont ρ la densité de charge total et J la densité de courant total, ces quantités sont reliés par la loi de la conservation de la charge (1.2.13).
Il y a aussi les lois constitutives qui connectent D et E, puis H et B. Mais ces lois sont dépendantes du milieu. Le cas qu’on considère dans ce document est le cas des matériaux isotropiques et dans ce cas on a
D=εE,B=µH, (1.2.23)
oùεest la permittivité électrique (capacité d’un matériel à être électriquement polarisé) etµest la perméabilité magnétique (capacité d’un matériel à être magnétisé). Une autre loi constitutive est la loi d’Ohm
J =σE, (1.2.24)
avec σ la conductivité électrique qui dépend complètement de la nature du matériau.
Si on utilise les loi constitutives on peut réécrire les équations (1.2.4), (1.2.7), (1.2.18) et (1.2.21)
ε∂E
∂t − ∇ ×H+σE = −J, µ∂H
∂t +∇ ×E = 0,
∇ ·(εE) = ρ,
∇ ·(µH) = 0.
(1.2.25)
Pour avoir plus de détails sur les équations de Maxwell et pour les équations harmo-niques en général on peut consulter [73]. Pour vérifier que le système de Maxwell avec conditions initiales et conditions de bord est un problème bien posé, on peut consulter [63].
Pour voir des méthodes de sous-structuration pour les équations de Maxwell consul-ter [61, 62, 59, 60]. Pour des méthodes de Schwarz optimisés sans conductivité voir [26, 2, 74, 75], avec conductivité voir [23, 32]. Pour des discretisations de type Galerkin voir [28, 24] et pour des applications de diffraction voir [74, 75].